Главная Общая акустика - создание упругих волн



Волны с угловой зависимостью в виде косинуса и в виде синуса получаются друг из друга поворотом всего распределения поля по сечению на 90° вокруг оси волновода. Это - так называемые вырожденные волны: при одинаковых частотах они имеют совпадающие скорости. Любая суперпозиция двух таких волн одинаковой частоты распространяется без изменения формы.

Особый интерес представляют нормальныеволны высоких угловых порядков: случаи, когда номер бесселевой функции / превышает величину ka. При / < ka распределение давления по радиусу трубы похоже на синусоиду, но при / > ka форма бесселевой функции, а значит, и радиальное распределение поля совершенно другие. Вблизи оси трубы давление оказывается малым, и чем выше номер, тем, при данной частоте, дальше простирается эта область малых значений; узлы давления по радиусу отсутствуют. Возмущения велики только на стенках трубы.

Эту особенность можно понять следующим образом. Рассмотрим для простоты критичес:-:ую частоту = 0). Давление на окружности стенки трубы распределено по синусоидальному закону и, считая по длине окружности, одна волна занимает участок Л = 2па/1. С другой стороны, длина волны в среде есть к = = 2л/к. Отношение этих величин есть А/Х = kail. При ka < / периодичность пространственного распределения давлений по стенке трубы мельче, чем длина волны звука. Если бы такая периодичность была задана на плоской стенке, давление спадало бы при удалении от плоскости экспоненциально (см. § 32). При такой же периодичности на вогнутой поверхности давление спадает медленнее, но все же так, что на расстоянии нескольких длин волн может оказаться весьма малым по сравнению с полем на самой стенке. Эту картину распределения давлений можно назвать своеобразным «скин-эффектом».

Иногда номер волны, генерируемой в трубе, задается самим шумящим устройством. Например, многолопастный вентилятор создает волну, номер которой равен числу лопастей. В этих случаях звуковое поле в трубе сосредоточено на ее периферии.



ГЛАВА IX

СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНЫ

§ 82. Сферические волны

В предыдущих главах мы подробно изучили плоские волны. Перейдем теперь к не менее важному типу волн - сферическим волнам, т. е. к волнам со сферическими фронтами. С такими волнами мы встречаемся в первую очередь при изучении источников и приемников звука, а также в вопросах рассеяния звука.

Мы видели, что плоскую волну реально можно создать только в ограниченной области, например в среде, заполняющей трубу с абсолютно жесткими стенками. Для создания плоской волны в неограниченном пространстве потребовался бы неосуществимый излучатель бесконечных размеров - колеблющаяся плоскость.

Иначе обстоит дело со сферическими волнами. Любое колеблющееся тело конечных размеров создает вдали от тела волну сферической формы. Вблизи от такого источника звука фронты волн могут иметьи другую форму. Например, вблизи кварцевой пластинки, колеблющейся с ультразвуковой частотой, фронты волн имеют вид участков плоскости; волна становится сферической лишь асимптотически, при удалении от источника звука на большое расстояние. Но, в отличие от плоских волн, реальная волна по мере распространения все более приближается к сферической*), а при некоторых видах колебаний тела идеально сферическая волна излучается, прямо начиная с поверхности тела.

Сферические волны не обязательно сферически-симметричны, т. е. амплитуда волны вдоль фронта не обязательно одинакова во всех точках.

В сферических волнах поле убывает по мере удаления от центра волны, причем, как будет показано, начиная с достаточно большого расстояния давление и скорость частиц убываютобратно пропорционально расстоянию от центра, а плотность энергии - обратно пропорционально квадрату этого расстояния. Этот «закон обратных квадратов» связан с конечностью скорости звука и справедлив в общем случае только при отсутствии дисперсии. Для иллюстрации рассмотрим, например, сферу, которую расширили

*) Стремление фронтов к сферической форме происходит так, что абсолютные отклонения фронтов от сфер остаются конечными, но относительное отклонение стремится к нулю.



отпервоначального до какого-то нового радиуса. При отсутствии дисперсии в среде побежит сферически-симметричная волна в виде расширяющегося шарового слоя толщины]с7, где Т - время расширения сферы. Вне слоя возмущения еще нет, а внутри него - уже нет.Если волна ушла на такое расстояние, что средний радиус г возмущенного слоя стал уже намного больше толщины слоя, то объем, занятый возмущением, можно считать приближенно пропорциональным г. Но в силу закона сохранения энергии суммарная энергия в слое должна оставаться неизменной, а так как плотность энергии пропорциональна квадрату амплитуды волны, то отсюда и следует указанный закон убывания.

Если сфера не просто расширяется от одного радиуса до другого, а совершает какое-нибудь другое движение, то расстояние, начиная с которого справедлив закон обратных квадратов, следует определять, беря в качестве Т характерное время процесса. Например, для гармонических пульсаций сферы следует взять в качестве Т период колебаний; расстояние в этом случае должно быть много больше длины волны.

При наличии дисперсии закон обратных квадратов справедлив только для гармонических сферических волн, так как в этом случае только они не меняют своей формы при распространении.

Если условие г > сГ не выполнено, то приведенные рассуждения несправедливы и убывание плотности энергии не подчиняется закону обратных квадратов. Например, в несжимаемой среде, где это условие никогда не выполняется, так как любое возмущение охватывает мгновенно все пространство, скорость частиц убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, и поэтому плотность энергии убывает обратно пропорционально четвертой степени расстояния.

В отличие от плоских волн, в сферической волне профиль, строго говоря, не остается неизменным даже в отсутствие дисперсии: действительно, амплитуда волны убывает при удалении от центра. Мы увидим, что для сферически-симметричных волн остается неизменным профиль величины гр. Для скорости частиц такая нормировка возможна только вдали от центра: вблизи амплитуда скорости убывает быстрее- обратно пропорционально квадрату расстояния.

Отметим замечательное свойство сферических волн: полный импульс сферической волны, длящейся конечное время, равен нулю в любой точке среды. В самом деле, в качестве такой сферической волны можновзять любую волну, создаваемую произвольными начальными возмущениями конечной области пространства, либо излучателями, действующими в течение конечного времени. Импульс выразится интегралом от давления в пределах от -оо до -f-oo. Интегрируя по времени в бесконечных пределах уравнение движения



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [88] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.2436