Главная Общая акустика - создание упругих волн



Следовательно, уравнение неразрывности выразится следующим равенством:

pvdS.

Снова заменяя интеграл по поверхности интегралом по объему, получим

V(pv)dQ.

Ввиду малости рассматриваемого объема можно положить интеграл равным QV (pv). Сокращая на Q и перенося все члены в одну часть, получим окончательно уравнение неразрывности в виде

-- + V(ptt)=0. (11.5)

Уравнение неразрывности скалярно и, как и уравнение Эйлера, нелинейно относительно характеристик среды.

В дальнейшем встретятся случаи движения среды, удовлетворяющие вместо уравнения неразрывности уравнению вида

-fV(ptt) = py. (11.6)

Это уравнение можно также интерпретировать как уравнение неразрывности, но примененное к среде, куда поступает «из ниоткуда» дополнительное «стороннее» количество среды. Величину V называют плотностью сторонней объемной скорости: она дает дополнительный объем, поступающий за единицу времени в единичный объем.

Наконец, уравнение состояния связывает давление, плотность (или сжатие) и температуру среды. Уравнение состояния не имеет какого-либо стандартного вида для всех веществ, наподобие уравнения Эйлера или уравнения неразрывности. Поэтому запишем его здесь в самом общем виде:

/(Лр. Л=0. (11.7)

Уравнение состояния также неЛинейно.

Если при данном движении среды плотность однозначно связана с давлением (так бывает обычно в акустике), то уравнение состояния можно записать в виде

р = р (Р) или S = S (р). (11.8)

Система уравнений (11.1), (11.5) и (11.7) или (11.8) является полной системой уравнений гидродинамики.



§ 12, Граничные условия

На границе жидкости с другими телами движение жидкости подчиняется определенным условиям - граничным условиям. Например, на абсолютно жесткой поверхности нормальная компонента скорости частиц должна обращаться в нуль:

Nv = 0. (12.1)

Это соотношение можно считать определением абсолютно жесткой поверхности. Реальное осуществление такой границы возможно с хорошей точностью только для газов: в нормальных условиях достаточно массивное твердое тело или поверхность жидкости (но только для звуковых волн *)) практически почти всегда можно считать абсолютно жесткими. Для жидкостей и твердых тел осуществить абсолютно жесткую границу затруднительно, но, как увидим, в ряде случаев понятие об абсолютно жесткой границе окажется полезным и для этих сред (см. § 41).

Если жидкость идеальна, то абсолютно жесткая поверхность не накладывает никаких ограничений на касательную компоненту скорости частиц, равную v - N (Nv): жидкость может беспрепятственно скользить вдоль границы. В действительности реальная жидкость прилипает к границе и касательная скорость также обращается в нуль: вблизи границы жидкость оказывается заторможенной, причем расстояние, на котором торможение еще заметно, определяется вязкостью жидкости и частотой колебаний. Эта толщина йкусттеского пограничного слоя во всех практически интересных случаях настолько мала по сравнению с длиной звуковой волны, что эффектом прилипания обычно можно пренебрегать (см., однако, §§ 19 и 58).

Другой важнейший тип границы - абсолютно мягкая граница. Граничное условие на такой границе (которое можно принять за определение «абсолютной мягкости») есть

р = 0. (12.2)

Особенность этого условия по сравнению с предыдущим состоит в том, что оно должно быть выполнено не на определенной поверхности в пространстве, а для определенных частиц жидкости, так как для того, чтобы давление оставалось равным нулю, поверхность должна перемещаться в пространстве. Это граничное условие осуществляется на границе капельной жидкости или твердого тела с вакуумом. Для газов границу с вакуумом осуществить нельзя, но есть случаи, как увидим в § 41, когда некоторые поверхности будут играть роль абсолютно мягких границ и для газов.

Другие типы граничных условий будем рассматривать по мере необходимости, когда будем встречаться с ними в конкретных задачах.

*) Для установившихся течений газа поверхность жидкости нельзя считать абсолютно жесткой: ведь морские волны вызываются именно движением воздуха!

2* 35



§ 13. Полная система акустических уравнений и ее упрощение (линеаризация). Особенность картины сплошной среды

в акустике

Полная система уравнений гидродинамики удовлетворяется при любых движениях жидкости; значит, звуковые волны также удовлетворя1от этим уравнениям. Это - точные уравнения. Но акустика интересуется только малыми колебаниями среды, и поэтому точность уравнений гидродинамики в акустике - это не только лишнее, но даже и вредное обстоятельство, поскольку оно связано с большой сложностью этих уравнений, в частности с их нелинейностью. Так как в дальнейшем мы будем интересоваться только звуковыми волнами малых амплитуд, то эти уравнения можно заменить более простыми приближенными уравнениями, решения которых будут тем не менее мало отличаться от решений точных уравнений. Особенно важно, что упрощение позволит прийти к линейным уравнениям.

В § 9 мы по существу пользовались уже подобным упрощением, которое позволило найти в качестве приближенного решения плоские волны, бегущие без изменения формы, и определить скорость таких волн. Теперь сделаем подобные же упрощения в полной системе точных уравнений гидродинамики; именно, отбросим в них те члены, которые для звуковых волн оказываются малыми по сравнению с остальными членами. Для того чтобы можно было выполнить такое разделение различных членов, оценим раньше всего входящие в уравнения гидродинамики производные по времени и по пространству от величин, характеризующих волну (давление, скорость частиц и т. д.). Так как речь идет не о вычислениях, а об оценках производных, расчет можно делать грубо, по порядку величины. Попутно получим такую же грубую оценку применимости понятия «малые амплитуды», которой уже пользовались в § 9, а также грубую оценку отбрасываемых «малых величин» в уравнениях.

Итак, пусть Т - характерный промежуток времени для данной волны, т. е. промежуток времени, в течение которого данная величина в волне (например, давление) меняется на величину своего порядка. Тогда частную производную этой величины по времени можно оценить как отношение ее наибольшего значения к промежутку времени Т. (Частную производную какой-либо величины по времени d/dt будем в дальнейшем обозначать иногда индексом t или точкой над символом дифференцируемой величины.) Для гармонической плоской волны наибольшее значение производной по времени какой-либо величины равно амплитуде самой величины, умноженной на угловую частоту со. Значит, для гармонической волны за характерный промежуток времени следует принять I/co = TJ2n, где Го - период волны.

Аналогично пусть L - характерная длина, т. е. расстояние, на котором (в среднем) данная величина меняется на величину



0 1 2 3 4 5 6 7 8 [9] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0116