Главная Общая акустика - создание упругих волн



где- коэффициент отражения, зависящий от входного импеданса сферы радиуса а. Сходящаяся бегущая волна соответствует коэффициенту отражения = О, стоячая волна с особенностью - коэффициенту отражения V = е*" и стоячая волна без особенности - коэффициенту отражения V = -. Найдем соотношение, связывающее коэффициент отражения, радиус сферы и ее входной импеданс. Суммарное поле падающей и отраженной волн на поверхности сферы дается формулами

„-ika .-ika

1 (-ika-l

Из граничного] условия (p/v)r=,a = (для входного импеданса нормальная скорость считается положительной в направлении внутрь сферы) получим Z = ipcka (1 + )/[1 +ika + (1-ika)], откуда, вводя обозначение С = Z/pc для относительного входного импеданса, имеем

= l + ika+j(l-ikay (85.5)

= (85.6)

ika-]-(ika - l)

Проанализируем эти формулы для наиболее интересных случаев.

Для получения чисто сходящейся волны (V = 0) импеданс должен быть равен, согласно (85.5)

Z = ika/{l +ika). (85.7)

Если радиусГотражающей сферы велик (йа > 1), то как

и следовало ожидать, поскольку при большом радиусе сферическая волна похожа на плоскую, для которой полное поглощение достигается как раз при 1 = 1 (см. § 43). При малом радиусе сферы получим

С я« ika (1 - ika). (85.8)

Таким образом, для того чтобы малая сфера целиком поглотила падающую на нее сходящуюся волну, ее входной импеданс должен быть мал по модулю и должен быть комплексным, с мнимой частью упругого типа; при этом активная часть импеданса должна быть мала по сравнению с его реактивной частью. Любопытно, что, в противоположность случаю плоской волны, при чисто вещественном импедансе полное поглощение невозможно. Легко рассчитать, что при чисто вещественном импедансе минимальное значение коэффициента отражения сходящейся сферической волны

получается при

Z = y{ka)Vll + {ka)]



и равно по модулю

\<i/\ = Yl-}-{kaf - ka.

Эта величина никогда в нуль не обращается, а при малом ka близка к единице: малая сфера с любым чисто активным импедансом отражает почти все.

Стоячую волну без особенностей можно получить, как ясно из физических соображений, помещая в качестве центрального тела сферу из той же среды, что и остальное пространство. Поскольку коэффициент отражения при этом равен -ехр {2ika), то, согласно" (85.5), импеданс такой сферы есть

t = tfeg sin kg ,gg g.

= sin ka - kacoska \

Импеданс чисто реактивный, a характер реакции (упругая или массовая реакция) зависит от радиуса сферы. При ka = 1л (1- целое) импеданс обращается в нуль, т. е. сфера ведет себя как вакуумная полость. При малых значениях ka импеданс приближенно равен 3i/ka и, следовательно, имеет упругий характер. Сравнивая эту величину с (85.7), мы видим, что при малых значениях ka импеданс, устраняющий особенность, оказывается по модулю весьма большим по сравнению с импедансом, обеспечивающим полное поглощение падающей волны.

Наконец, волна стоячего типа с особенностью, соответствующая = ехр {2ika), создается при чисто мнимом импедансе центральной сферы, равном

~1Ша + каШШ (85.10)

что дает при малых ka значение I, t== ika, отличающееся от импеданса, соответствующего полному поглощению, только отсутствием активной части.

Рассмотрим теперь обратную задачу: дан импеданс малой сферической поверхности. Требуется найти результирующее поле при падении на сферу сходящейся сферической волны. Из (85.6) видно, что как при 1, < ka, так и при > йа коэффициент отражения будет близок к -1, так что результирующее поле будет близко к полю без особенностей вида р = (sin kr)lr. Значит, поле будет практически одинаково при помещении в центр сходящейся волны малой сферы с очень большим импедансом (например, абсолютно жесткой сферы) и с очень малым импедансом (например, вакуум-нрй полости). Только при относительном импедансе с реактивной частью упругого типа, близкой к ika, коэффициент отражения будет близок к +1 и результирующее поле будет близко к полю с особенностью вида (cos kr)lr или ехр (-ikr)lr.

Здесь есть аналогия с поведением резонатора, на который действует возмущающая сила данной частоты. Поле без особенностей



аналогично поведению резонатора при очень большой жесткости пружины или при очень малой ее жесткости: в обоих случаях движение осциллятора остается малым, что соответствует малым значениям скорости в поле без особенностей вблизи центра. «Резонанс» в данном случае соответствует С = ika, при этом скорость вблизи центра делается большой. Это- не только внешняя аналогия, и картине резонанса можно придать реальный смысл, помещая в центрволны упругую сферу.

§ 86. Сферически-симметричные колебания сферического объема жидкости

Рассмотрим сферический сосуд, заполненный жидкостью или газом. Среда в сосуде может совершать различные свободные гармонические сферически-симметричные колебания. Найдем все такие колебания. Стенку сосуда будем считать непроницаемой для звуковых волн (чисто мнимый импеданс стенки). Тогда колебание будет представлять собой стоячую волну. Поскольку давление во всем сосуде должно оставаться конечным, волна должна иметь ВИД р = (sin kr)lr.

Значение k, а следовательно, и частота .колебаний найдутся ИЗ граничного условия на стенке сосуда: отношение давления В волне к скорости частиц должно равняться входному импедансу Z стенки сосуда. Из (85.3) и (85.4)найдем, что граничное условие имеет вид

iocka = Z

ka cos ka - sin ka

где a - радиус сосуда, или, в более компактном виде,

iFe=s. (86.1)

Так как импеданс стенки в общем случае зависит от частоты, то можно считать, что правая часть, как и левая, есть функция ka, и рассматривать последнее уравнение как (трансцендентное) уравнение частот с неизвестной ka. Решения образуют бесконечный дискретный набор значений ka, соответствующий такому же бесконечному дискретному набору собственных частот сферически-симметричных колебаний среды в сосуде. График функции (86.1) дан на рис. 86.1. Если известна частотная зависимость импеданса стенки сосуда, то по этому графику можно определять собственные значения величины ka.

Рассмотрим некоторые простейшие случаи.

Пусть С = О, т. е. граница колеблющегося сферического объема жидкости свободна (вибрации капли). Тогда, как видно из (86.1), собственные значения ka образуют гармонический ряд л, 2я, Зл, ... На собственной частоте на диаметре капли укладывается,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 [91] 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0117