Главная Общая акустика - создание упругих волн



таким образом, целое число длин волн. Резонансные частоты равны, следовательно, ncia, 2пс1а, Злс/а, . . . Для самого низкочастотного колебания как давление, так и скорость сохраняют свой знак во всем объеме сферы. Радиальное распределение амплитуд этих величин показано на рис. 86. 2. Сами эти величины по фазе сдвинуты друг относительно друга на четверть периода.

ка Цка


(ka)i 5

Рис. 86.1. График функции , В интервале значений от О до пример-

Iff kQ - йСЕ

НО 4,49 функция принимает все значения от -оо до-)-оо. Следовательно, при любом импедансе границы в этом диапазоне значений ka имеется значение, соответствующее собственной частоте. Низкие частоты (О•< ka< я) отвечают массовому импедансу, а высокие (я < <;4,4934)-упругому импедансу. Пунктиром показано для примера определение двух низших значений ka для стенки массового типа с поверхностной плотностью р. - ар.

Интересно, что амплитуда скорости частиц на поверхности сферы не максимальна: в самом деле, если, например, в выражении

kr соь kr - s\n kr

(РШУ=: --

положить kr = п - 8, где е < 1, т. е. рассмотреть скорость вблизи границы для первого колебания, то приближенно

Отсюда видно, что амплитуда колебаний [растет от конца радиуса к центру. Так как в центре она равна нулю, а знак скорости сохраняется на всем радиусе, тоясно, что в некоторой точке амплитуда достигает максимума. Уравнение для радиуса, соответствующего максимуму скорости, найдем, приравнивая нулю производную скорости частиц по г, что дает kr/tg kr = \ - - {kry/2. Это соответствует радиусу г = 0,6626а {kr = 2,08). Ско~ рость на поверхности сферы составляет 0,725 от максимальнога значения скорости.



Для абсолютно жесткой стенки уравнение (86.1) примет вид ka = tg ka. Решения этого уравнения приближенно равны

ka = J?i+}UL

(2/+1)я-

Уже для первого колебания (/ = 1) приближенное значение ka == 4,50 отличается от точного менее чем на 0,2%;

ка

Рис. 86.2. Сплошными линиями показано распределение вдоль радиуса амплитуд давлений и скорости частиц для первого нормального колебания свободного сферического объема жидкости {ka = я). Пунктир достраивает эти распределения до кривых, соответствующих сферическому объему жидкости в абсолютно жесткой оболочке.

погрешность для более высоких номеров еще меньше. Наинизшая частота собственного колебания для жесткой границы выше, чем частота для свободной границы при том же радиусе. На рис. 86.2 показано соответственное распределение давлений и скоростей частиц по радиусу.

§ 87. Монополь. Объемная скорость

Теперь займемся расходящейся сферически-симметричной волной. Создание такой волны представим себе следующим образом. Пусть в среду помещена сфера с проницаемыми стенками, внутри которой попеременно создается то избыток, то недостаток некоторого количества вещества данной среды; это количество будет то выходить через стенки во внешнюю среду, то возвращаться обратно через стенки внутрь сферы. Такое устройство есть идеальный излучатель, создающий снаружи сферы сферически-симметричную расходящуюся волну (проницаемую сферу можно и не осуществлять материально: важно только появление и исчезновение некоторого объема среды). Радиус сферы может быть любым, но особенно важен случай сферы малого радиуса по сравнению с радиусом неволновой зоны. Такой излучатель называют монополем.

В пределахневолновой зоны скорость частиц на поверхности сферы в расходящейся волне примерно обратно пропорциональна квадрату радиуса. Поверхность же сферы прямо пропорциональна квадрату радиуса, так что для создания данного поля снаружи сферы общее количество втекающей или вытекающей через стенки



•среды (поток среды через поверхность сферы) следует брать практически не зависящим от радиуса. Значит, это количество и будет определять данную сферически-симметричную волну; можно ожидать, что радиус сферы (пока он мал) при данном количестве создаваемой и исчезающей среды роли не играет; поэтому при малом радиусе сферы говорят о точечном монополе.

Подтвердим эти соображения расчетом. Пусть монополь в виде Jлaлoй сферы радиуса а создает волну р = f (t - rlc)lr. Согласно (84.1) скорость часТиц на поверхности сферы равна

что дает следующий поток скорости частиц через всю поверхность сферы:

Введем величину

(0 = j f{t)dt. (87.1)

Очевидно, поток равен сумме двух первых членов разложения этой величины в ряд по степеням приращения ale аргумента вблизи значения аргумента t - ale:

откуда видно, что поток через поверхность сферы, создающий данную волну, отличается от V (t), только начиная со второго порядка относительно малой величины alcT, где Т - характерное время изменения V. Величину V (t) называют объемной скоростью монополя. Мы видим, действительно, что этот поток мало зависит от радиуса а сферы. Объемная скорость монополя очень велика по сравнению со скоростью изменения под действием звуковой волны объема сферы того же радиуса а, вырезанного в среде вне источника вещества. Поэтому внутри малого объема среды, включающего этот источник, среду практически можно считать несжимаемой, а приближенные формулы обрывать на втором члене.

Выразим теперь поле сферической волны через объемную скорость монополя, создающего эту волну. Из (87.1) имеем



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 [92] 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0119