Главная Общая акустика - создание упругих волн



Значит, давление в волне равно

Отсюда видно, что излучение, обусловлено только изменением объемной скорости.

Скорость частиц получится в виде

Заметим, что данная сферически-симметричная волна может быть создана также протеканием среды через поверхность сферы не малого радиуса, но тогда поток среды через поверхность*не будет равен объемной скорости сферической волны и будет зависеть от радиуса.

Для гармонического монополя с объемной скоростью

V (t) = Foe-"«"

имеем

(87.4)

ikr - 1 jkr

в этом случае критерий малости радиуса монополя а имеет вид fea < 1. Отличие потока через поверхность сферы радиуса а от величины Vo равно V2 {kaY Vq, т. е. относительная погрешность равна Va (М • 1-

Фазу объемной скорости гармонического монополя можно считать произвольной (если еще не выбрана фаза какой-либо другой величины, характеризующей волну, например фаза давления в той или иной точке): изменение фазы равносильно изменению начала отсчета времени. Например, изменение знака Уо равносильно сдвигу начала отсчета на половину периода.

Появление и исчезновение среды внутри проницаемой или мысленно выделенной в среде сферы можно имитировать другим, более реальным процессом: пульсацией непроницаемой сферы малого радиуса. Такой излучатель также называют монополем. Строго говоря, в таком излучателе за объемную скорость нельзя принять величину 4лау, где v-скорость поверхности излучателя, так как при колебаниях будет меняться и сам радиус сферы, а это даст нелинейную квадратичную поправку к потоку скорости. Действительно, скорости поверхности у = Уо cos Ы соответствует



изменение радиуса

Аа = (vo/d)) sin со, так что поток скорости окажется равным

4я а + Sin со У Уо cos (ot.

Добавка к потоку составляет квадратичную по отношению к скорости величину 4яа (уо)) sin 2(л1 *). Это - колебание двойной частоты. Относительная величина нелинейной добавки равна

Vo/aa = M/ka,

где М = Vo/c - число Маха. Чтобы различие между двумя видами монополя было мало, должно выполняться условие М -С (обычного требования малости числа Маха по сравнению с единицей здесь оказывается недостаточно). В дальнейшем будем предполагать выполненным и это условие. Так как Уо/со = Аа - амплитуда смещения поверхности, то условие равносильно требованию малости изменения радиуса сферы по сравнению с самим радиусом.

Из сказанного выше следует важное заключение о связи между конструктивными элементами монополя и создаваемым им полем. При заданной величине вытесняемого объема, который определяется в конечном счете размерами излучателя (например, радиусом малой сферы), объемная скорость пропорциональна частоте звука. Значит, создаваемое звуковое давление пропорционально квадрату частоты, а излученная энергия -• четвертой степени частоты. Следовательно, эффективность излучения малого источника звука быстро падает с понижением частоты. В частности, поэтому «бас-громкоговорители» должны иметь такие большие размеры по сравнению с «пищалками» - громкоговорителями для высоких частот звука.

Возьмем в качестве излучателя звука не пульсирующую сферу, а пульсирующее тело любой формы и, кроме того, сообщим поверхности тела различные скорости в разных точках, требуя только, чтобы объем тела менялся с течением времени. Тогда при размерах тела, не малых по сравнению с длиной волны, излучаемое- поле будет иметь сложную структуру, зависящую и от формы, и от размеров тела по отношению к длине волны, и от распределения скоростей по его поверхности. Если же тело мало по сравнению с длиной волны, то, как можно показать, вдали от тела главная часть поля всегда явится сферически-симметричной расходящейся волной - такойже волной, которую создал бы монополь в виде пульсирующей сферы малого радиуса с объемной скоростью, равной суммарному потоку скорости через поверхность тела.

*) Членом, содержащим i§, пренебрегаем.



§ 88. Сопротивление среды в сферической волне. Присоединенная масса

Введем для сферически-симметричной волны понятие сопротивления среды, аналогичное этому понятию для плоской волны: отношение давления к скорости частиц. Мы видели, что для плоских волн любой формы сопротивление среды не зависит от времени и равно рс. Для сферических волн отношение давления к скорости вообще зависит от времени. Поэтому понятие сопротивления среды можно ввести только для гармонических волн, для которых

зависимость от времени одинакова для давления и для скорости и поэтому выпадает.

Согласно (85.1) и (85.2) для расходящейся гармонической сферически-симметричной волны сопротивление среды равно

2 р ipckr

V ikr - \


ipckr

pc(krf

Рис. 88.1. Вещественная и мнимая (с обратным знаком) части относительного сопротивления среды Z/pc в сферичесри-симметричной волне.

.1 + (*г)«

(88.1)

В отличие от плоской волны, сопротивление оказывается комплексным и зависящим от расстояния до центра волны и от частоты. Мнимая часть сопротивления отрицательна, т. е. имеет характер массового сопротивления. На рис. 88.1 даны зависимости-1ш Z/pc и Re Z/pc от kr. При малых значениях kr мнимая часть зависит от kr линейно, затем рост мнимой части замедляется, достигает максимума (равного /грс) при kr = 1, а затем убывает, асимптотически стремясь к нулю по мере возрастания kr. Вещественная часть сопротивления по модулю относится к мнимой как kr : \; при малых kr она имеет порядок {kr) и мала по сравнению с мнимой частью, а при krоо стремится к рс. При.йг = 1 вещественная и мнимая части сопротивления равны по модулю. Асимптотическое поведение сопротивления делается понятным, если учесть,, что увеличение kr равносильно удалению на бесконечность, где сферическая волна делается похожей на плоскую.

Сопротивление, испытываемое со стороны среды поверхностью сферы малого радиуса г (kr < 1), равно приближенно

Z = -шрг (1 + ikr). (88.2)

Вещественная часть сопротивления мала по сравнению с мнимой, а эта последняя имеет массовый характер и в данном приближении совпадает с реакцией - гсорг, которую оказывала бы несжимаемая жидкость той же плотности. Действие реактивной



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [93] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0106