Главная Общая акустика - создание упругих волн



части сопротивления в отсутствие среды можно имитировать, распределяя равномерно на поверхности сферы массу с поверхностной плотностью рг. Суммарная масса для всей сферы составит тогда 4ягр, что равно массе среды в тройном объеме сферы. Эту массу называют присоединенной массой сферы.

Присоединенная масса не зависит от частоты. Фактическая реактивная часть сопротивления в сжимаемой среде меньше сопротивления присоединенной массы в отношении I : [1 + (kr)]. Модуль полного сопротивления среды в сжимаемой среде меньше сопротивления присоединенной массы в [1-Ь/2 (OI раз (поправки относятся к случаю kr С !)•

Для монополя, осуществленного в виде малой пульсирующей сферы, расчет сил, необходимых для создания заданной объемной •скорости, можно вести, исходя из величины присоединенной массы, как если бы среда была несжимаемой. Различие фаз сопротивления для сжимаемой и несжимаемой среды тоже мало; однако, как мы уже говорили, это малое различие играет принципиальную роль в вопросе об излучении звука.

§ 89. Колебания упругой сферы в среде. Колебания газового пузырька в воде

Возьмем в качестве монополя упругую безмассовую сферу радиуса а с удельным коэффициентом упругости х. Это значит, что в поле давления р приращение Аа радиуса сферы равно Аа = = -рЫ. Такая сфера, помещенная в несжимаемую среду, явится для сферически-симметричных колебаний осциллятором с одной степенью свободы. Обобщенная масса такого осциллятора - это присоединенная масса среды, равная 4яар; обобщенный коэффициент упругости равен 4лак. Следовательно, собственная частота осциллятора равна

Такой же расчет можно выполнить и для сферы, помещенной в сжимаемую среду, если длина волны собственной частоты в среде велика по сравнению с размерами сферы, т. е. выполнено условие koU < 1, где ko = Шц/с. Для этого должно выполняться неравенство к рс7а. Если сфера - сплошное тело, это значит, что сжимаемость тела должна быть много больше сжимаемости среды (такому условию всегда удовлетворяет, например, газовый пузырек в воде). Колебания упругой сферы в сжимаемой среде можно по-прежнему рассматривать как колебания осциллятора с одной степенью свободы, но его колебания будут теперь затухающими: энергия колебаний будет «высвечиваться» - затрачиваться на излучение звука колеблющейся сферой.

Расчет осциллятора в этом случае проще всего выполнить следующим образом. Если сфера мала по сравнению с длиной волны,

10 М. А Исакович 289



то можно пользоваться формулой (88.2), отличающейся от формулы для несжимаемой среды только множителем 1 + ika, учитывающим активную часть реакции среды. Полную реакцию сжимаемой среды на сферу можно, следовательно, имитировать в формуле для сопротивления, распределяя по поверхности сферы «комплексную поверхностную плотность» ар (1 + ika). Тогда ча- , стоту колебаний - теперь она также комплексна - найдем по той же формуле (89.1):

Таким образом, амплитуда колебаний будет затухать по закону

р = Ро ехр (-VaoofOoO. а энергия осциллятора -, по закону

Е = Ео ехр (-koaat).

Добротность осциллятора равна Q = l/kou.

Ширина резонансной кривой равна Дш/соо = VQ = ka.

В этом расчете принято, что ka < 1. Поэтому при подсчете затухания волновое число можно было рассчитывать, исходя из вещественной частоты, полученной при пренебрежении сжимаемостью, а частоту колебаний считать той же, что и в отсутствие сжимаемости. При комплексной частоте получим и комплексное волновое число:

k=k,[l--i-iV).

Таким образом, излучаемая волна имеет вид

р = Роехр ( -icoo-r-g-V«oJ----

Обратим внимание на то, что в каждый момент времени при удалении от центра волны амплитуда колебаний вначале падает вследствие сферического расхождения, а затем растет вследствие перевешивания экспоненциального множителя. (Минимум амплитуды соответствует kr = 2/koa.) Физический смысл этой зависимости от расстояния был пояснен в § 36.

Для всякого осциллятора, помещенного в среду, излучение эквивалентно некоторому затуханию. В нашем расчете мы учитывали только это «радиационное» затухание. Если в осцилляторе имеются и собственные потери, то их следует добавить к радиационным потерям.

В качестве примера рассмотрим колебания газового пузырька в жидкости. Газовый пузырек можно считать практически безмассовой упругой сферой. Найдем коэффициент упругости пузырька. Пусть радиус пузырька а получил малое приращение



Аа < а. Тогда его объем (4/3) па получит приращение 4яа Аа, а значит, сжатие газа в пузырьке будет равно

(4/3) яаз -

В результате давление внутри пузырька получит приращение р = = s/p = -3 Аа/ар, где р - сжимаемость газа. Отсюда следует, что коэффициент упругости равен v. = -р/Аа = 3/ар. Подставляя в (89.1), найдем частоту радиально-симметричных колебаний:

= /i- (89.3)

Остается только вопрос, соответствует ли сжимаемость газа в пузырьке адиабатическому или изотермическому процессу? Дело в том, что при малом радиусе пузырька весь газ в нем находится практически в статическом режиме и целиком испытывает адиабатические нагревания и охлаждения при изменениях объема. Выравнивается же не плавное изменение температуры на расстояниях в четверть длины волны, как в волне в неограниченной среде, а резкий скачок на границе окружающей жидкости, температура которой в волне почти не меняется (вода при 4 °С вообще не меняет температуру при сжатиях и разрежениях), с малым объемом газа в пузырьке. Поэтому в данном случае теплообмен гораздо больше, чем в волне, бегущей в неограниченном газе, и можно ожидать, что при некоторых условиях газ в пузырьке окажется в режиме, близком к изотермическому. Очевидно, все будет зависеть от соотношения между длиной температурной волны в газе и радиусом пузырька. Если длина температурной волны мала, по сравнению с радиусом, то процесс приблизительно адиабатический; если длина волны порядка радиуса или больше его, то процесс близок к изотермическому. Соответственно в первом случае в формуле (89.3) следует брать адиабатическую, а во втором случае - изотермическую сжимаемость.

Условие адиабатичности имеет вид а > б, гдеб = 0,24/] - глубина прогревания (см. § 19). При выполнении этого условия можно считать р = I/7 Р, где Р - давление газа в пузырьке (гидростатическое давление, сложенное с капиллярным давлением 2Т1а, где Т - капиллярная постоянная; второе слагаемое играет роль только для очень малых пузырьков). Теперь (89.3) примет вид

= У%- (89.4)

Для пузырька воздуха вблизи свободной поверхности воды это даст соа = 2050 или fa = 327 гц-см. Критерий адиабатичности примет вид а > 0,24V327 = 1,8-10"* см: радиус пузырька должен быть много больше двух микрон. Это соответствует частотам много

10* 291



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 [94] 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0157