Главная Общая акустика - создание упругих волн



щимся с той же скоростью V, что и поверхность пульсирующего шарика. Для того чтобы поршень излучал плоскую волну, его нужно поместить в цилиндрическую трубу того же сечения. Мощность излучения плоского поршня равна «поршня = = (1/2) inapcv, т. е. в l/(ka) раз больше мощности излучения монополя. Таким образом, эффективность излучения звука в виде сферической волны пульсирующим телом, малым по сравнению с длиной волны, мала по сравнению с излучением плоской волны с той -же площади излучающей поверхности.

В сходящейся бегущей волне плотность потока мощности записывается так же, как и в расходящейся волне, но с обратным знаком: вектор потока направлен к центру волны, а не наружу, как в расходящейся волне. Для суперпозиции сходящейся и расходящейся волн

f(t~r/c) , g(t + r/c) Р г г

плотность потока мощности равна

- 00

Последний член справа - реактивный поток мощности. При усреднении он пропадает. Средние потоки мощности сходящейся и расходящейся волн вычитаются друг из друга, так же как вычитаются потоки мощности в плоских волнах, бегущих навстречу друг другу.

« В гармонических стоячих волнах (85.3) средние потоки мощности равны нулю. Интересно отметить, что в волнах (cos kr)lr у elr распределения давлений и скоростей вблизи центра волны почти идентичны: для обеих волн давления и скорости стремятся по модулю к бесконечности по мере приближения к центру волны, причем отношения соответственных величин стремятся к единице. Тем не менее в первой волне излучение отсутствует, а во второй волне оно есть. Дело в том, что в первой волне давление и объемная скорость сдвинуты по фазе друг относительно друга точно на 90°, так что работа сил давления чисто реактивная и средняя работа равна нулю. Во втором же случае малая добавка к давлению - второй член в (90.2), - не зависящая от расстояния от центра, если это расстояние уже мало, совпадает по фазе с объемной скоростью частиц и производит активную работу.

Зная мощность излучения, можно найти затухание пульсирующего осциллятора другим способом, чем в § 89. В самом деле, при амплитуде скорости v поверхности пульсирующего шарика энергия, запасенная осциллятором, равна Е = (1/2) 4ла*ри* (амплитуда кинетической энергии присоединенной массы). Секундная же потеря энергии - dEldt есть как раз мощность излучения и дается формулой (90.4). Отсюда находим dEldt - -kaaE,



что дает закон затухания по энергии Е = ехр (-kaat) в согласии с § 89. Из (90.3) видно, что отношение амплитуды реактивной мощности на поверхности пульсирующей сферы радиуса а к средней активной мощности равно l/ka : 1; для малого излучателя это отношение весьма велико. Мощность же двигателя, приводящего излучатель в действие, должна равняться амплитуде реактивной мощности - иначе излучатель не сможет работать. Таким образом, для малых излучателей двигатель работает в основном вхолостую и на акустическое излучение идет только малая, часть развиваемой им мощности.

Используем полученные результаты для расчета затухания собственных колебаний в узкой трубе с одним открытым концом. Из сказанного в конце § 65 видно, что открытый конец можно рассматривать как монопольный источник: из него в окружающую среду периодически поступает и возвращается обратно некоторый объем среды. Так как размеры отверстия малы по сравнению с длиной волны, то наличие отверстия мало меняет скорость частиц внутри трубы. Поэтому найти количество вытекающей и втекающей среды можно, считая, что наличие излучения не влияет на скорость среды в трубе.

Обозначила амплитуду скорости частиц в пучности скорости через V, а площадь поперечного сечения трубы - через S. . Объемная скорость монополя, которым можно заменить трубу, равна V =. Sv. Согласно (90.4) излучаемая мощность равна J = (1/8я) pckV = (1/8я) pckSv. С другой стороны, мощность сил давления в открытом конце равна (1/2) pSv. Приравнивая эти два выражения для мощности, найдем искомую вещественную компоненту проводимости открытого конца:

р pckS

Например, для круглой трубы радиуса а получим ., R = = 4/[(рс (fea)]. Для узкой трубы {ka <С 1) проводимость открытого конца оказывается большой по сравнению с 1/рс.

При расчете мы предполагаем, что давление в открытом конце синфазно со скоростью. В действительности давление имеет еще и мнимую компоненту, т. е. компоненту, ортогональную к скорости (сдвинутую относительно скорости на 1/4 периода). Средняя мощность этой второй компоненты равна нулю. Ее действие заключается в некотором сдвиге собственных частот трубы: от-,крытый конец равносилен некоторой массовой проводимости, поэтому его действие несколько повышает собственные частоты трубы. Но это изменение для достаточно узких труб очень мало. Если требуется только знать коэффициент затухания трубы с открытым концом, то этим изменением частоты можно пренебречь.

Коэффициент затухания трубы с одним абсолютно жестким концом и одним концом с большой активной проводимостью R

равен, согласно § 65, а == со ("~~ npc/?j. Но для открытого



конца pcR = 4/(а)*; значит, коэффициент затухания в этом случае равен

4(2/-1)я/2~ 4\ 2 V

С увеличением номера обертона коэффициент затухания быстро растет, а добротность падает. Наименьший коэффициент затухания (для основного тона) равен (nV16) с (аЧЬ). Добротность трубы с одним закрытым и одним открытым концом равна

Q J ja (2f- 1)я

2 а {kaf а* (21- 1)я "

Найдем теперь плотность энергии в сферической волне. Подставляя в (37.1) выражение (84.1) для скорости частиц, получим

Е -

кин - 2

Рр + -Р JP + UPM • (90.5)

Первый член равен плотности потенциальной энергии в волне. Вплоской волне имеется только такой член. Остальные слагаемые - добавочные по сравнению со случаем плоской волны - обусловлены наличием неволновой части скорости. Последнее слагаемое - квадрат неволнового члена - всегда положительно: оно равно кинетической энергии в несжимаемой жидкости при такой же временной зависимости давления. Это видно, если положить в (90.5) с = оо (и в коэффициентах, и в выражении для давления). Среднее слагаемое - произведение волнового и неволнового членов - может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Для гармонической волны его среднее значение за период равно нулю. Для непериодического движения его среднее значение за длительный промежуток времени стремится к нулю по мере увеличения времени усреднения. Таким образом, в средних величинах нужно учитывать только первый и третий члены. Следовательно, кинетическая энергия в сферической волне в среднем больше, чем потенциальная (в плоской бегущей волне эти величины равны друг другу).

По мере удаления от центра волны различие уменьшается и плотность кинетической энергии стремится к плотности потенциальной энергии, убывая вместе с ней по закону обратных квадратов расстояния от центра волны. Вблизи же центра волны, в неволновой зоне, главную долю кинетической энергии составляет положительный добавочный член; он убывает с расстоянием как 1/г*.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 [96] 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0123