Главная Процесс переноса теплоты



Системы интегральных уравнении вырождаются в соответствующие системы алгебраических уравнений применительно и к другим видам излучения. Если условие (17-107) строго не выполняется, то системы алгебраических уравнений будут описывать процессы теплообмена излучением лишь с соответствующим приближением.

Рассмотрим условия обратного перехода, т. е. перехода алгебраических уравнений в интегральные. Применительно к падающему излучению средняя плотность потока определяется конечной системой алгебраических уравнений (17-89) § 17-7:

£пад£=2 Eskfh.i, fe=l..... П;

здесь k обозначает отдельные тела нли зоны поверхностн излучающей системы с постояинымн температурами и оптическими свойствами. В предельном случае полагается, что число зон п-оо, а поверхности отдельных зон стягиваются в точки и F;,->0.

Тогда средние плотности потоков излучения переходят в действительные значения в отдельных точках; средние угловые коэффициенты из.зучения с зоны на зону - в элементарные угловые коэффициенты; суммирование но отдельным зонам заменяется интегрированием по всей поверхности F излучающей системы. Конечная система алгебраических уравнений (17-89) переходит в интегральное уравненне, описывающее непрерывное изменение плотности потока падающего излучения в зависимости от положения точки М на поверхности:

падМ

Edf. (17-89")

Системы алгебраических уравнений (17-94), (17-98) н др. для различных видов излучения в предельном случае также переходят в соответствующие интегральные уравнения, которые яв.1яются строгими и точными.

17-10. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ЛУЧИСТОГО ТЕПЛООБМЕНА .

Интегральный метод применяется для исследования сложных задач лучистого теплообмена, когда исходная система характеризуется сложной геометрической формой и имеет произвольное распределение температуры и оптических параметров вдоль поверхности системы.

Точное решение задач применительно к указанным условиям основывается на интегральных уравнениях излучения, откуда следует н название метода. Интегральные уравнения в § 17-9 получались путем предельных переходов нз алгебраических.

Интегральные уравнения могут быть получены и независимым путем. Для их вывода используется фундаментальное соотношеине (16-12) теории лучистого теплообмена. Применительно к потоку падающего излучения, выражаемого через яркость, оно имеет вид: dQmm N=1NdatNdFN cos ifn-.

Используя закон Ламберта, а также зависимости (16-56) и (16-58), получаем:



здесь, как и ранее, М и N соответственно фиксированная н текущая точки на поверхности F системы (рис. 17-12).

Плотность потока падающего излучения с площадки dFn на площадку dFjK будет равна:

Используем свойство взаимности (17-75). Тогда после интегрирования получим:

£™m=J£/V«- (17-108)

Для серого тела вместо собственного войдет эффективное излучение и зависимость (17-108) переходит в уравнение (17-89") из § 17-9, ранее полученкое путем предельных переходов (см. стр. 404).

Зависимость (17-89") позволяет найти интегральные уравнения для других видов потоков излучения.

Метод пачучення интегральных уравнений аналогичен методу получения алгебраических уравнений (§ 17-7). Так, например, для получения интегрального уравнения, выражающего плотность потока эффективного излучения, вновь используется соотношение (16-18), но вместо (17-89) для падающего излучения берется зависимость (17-89"). Интегральное уравнение для определения распределения £эф но поверхностн

излучающей системы £ = 2 имеет ввд:

аф « - J £зф ,v = (17-94")

Интегральное уравнение для плотности потока падающего излучения получаем после подстановки в (17-89") найденного значения Езфм:

г„а« м - j «м. .v = j Avorfm. ,v; (17-96")

здесь Eon - плотность излучеяня абсолютно черного тела при температуре в текущей точке N на поверхности.

Таким образом, вместо конечных систем алгебраических уравнений получены единые интегральные уравнения, описывающие непрерывное распределение но поверхности лучистых потоков различных видов.

Вывод интегральных уравнений для результирующего, отраженного и поглощенного излучений аналогичен выводу систем уравнений (17-98), (17-100), (17-102). Поэтому они будут приведены без промежуточных выкладок в окончательном виде:

4 9рез A.» = I(£om-£o.v)9m.«: (17-98")

"р-vm. .v = « 5.vw. (17-100")

« - « 1 Я™ n = A„l £vrf9M. ,v- (17-102")




Таким образом, получены интегральные уравнения излучения. Соответствующие пм элементарные уравнения (А), (Б), (В), (Г), (Д) (§ 17-7) в рассматриваемом случае используются применительно к отдельным расчетным точкам м.

Каждая из систем, состоящая нз какого-либо одного интегрального уравнения (17-94"), (17-96"), (17-98"), (17-100") или (17-102") и соог-ветствующей совокупности элементарных уравнений (А) - (Д), для других видов излучения равноценна остальным и характеризуется СБОИМ методом расчета.

17-11. РЕЗОЛЬВЕНТНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ЛУЧИСТОГО ТЕПЛООБМЕНА

Точные аналитические решения иптегральпых уравпепий (§ 17-10) получены лишь применительно к (отдельным) частным задачам {Л. 163]. В общем случае прибегают к различным приближенным методам решения Л. 1, 163, 178]. К одному из них относится метод последовательных приближений (итераций). Рассмотрим этот метод для произвольной геометрической замкнутой системы серых тел с заданным полем распределения температуры и оптических свойств на ее граничной поверхности. Требуется найти потоки различных видов излучения.

Плотность потока эффективного излучения для этпх условий выразим зависимостью

£зфm-Em + Rm\ .Vd9„, ,. (17-94")

Рис 17-13 К методу В методе итераций результат каждого после-

итераций. довательного приближения используется как исход-

ное значение для последующего приближения. Число последовательных приближений произвольно и в пределе приводит к решению с заданной точностью. Примем для точки м (рис. 17-13) в качестве нулевого приближения £°= 0.

Аналогично для текущих точек N будем иметь £<°, = 0. Тогда для получения решения интегрального уравнения (17-94") необходимо вместо Я,ф fj подставить его значение, равное нулю. В результате получим:

ii= (17-109)

Такие же соот1юшения имеют место для всех текущих точек N.

Таким образом, в первом приближении учитывается лишь собственное излучение. Промежуточные многократные отражения не учитываются. Следовательно, это грубое приближение. Подставим в интегральное уравнеине результат первого приближения и тогда будем иметь:

£5« = £л, + Лм£Л,« = £м + С«: (17-110)

здесь, кроме собственного, учитывается еще однократное отражение. 406



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 [134] 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.0109