Главная Процесс переноса теплоты



б) Стерокень бесконечной длины

В начальном сечении стержня температура поддерживается носто-янной, т. е. при х=0 величина €=€1. Если длина стержня /->-оо, то вся теплота, подводимая к стержню, будет отдана им в окружающую среду и при X->-оо имеем €=0.

Подстановка граничных условий в уравнение (2-79) дает:

при х=0 ©i=Ci-f Сг; при X->-оо Cie~=0.

Последнее равенство возможно только при Ci=0. Таким образом, C2=0i. Подставляя эти значения постоянных Cj и Сг в уравнение (2-79), получаем:

fl=.aie-™* , (2-80)

Последнее равенство можно записать в виде:

0=- = £-"•=, (2-80)

где в - безразмерная температура, выраженная в долях температуры fti начального сечения стержня.

На рис. 2-13 представлена зависимость безразмерной температуры в от длины стержня при различных значениях параметра т (mi<m2< <тз). ,

Из рассмотрения рис. 2-13 следует, что безразмерная температура убывает тем сильнее, чем больше множитель т. При х->-оо все кривые асимптотически приближаются к 6=0.

Из уравнения т = УаЩ следует, что величина т пропорциональна теплоотдаче с боковой поверхности и обратно пропорциональна - фактору, определяющему передачу теплоты теплопроводностью вдоль стержня. Отсюда следует, что при оребрении нужно выбирать материал для ребер с большим коэффициентом теплопроводности. Последнее приводит к уменьшению т и сохранению больших избыточных температур вдоль стержня. При ap/?b=const величина т возрастает с возрастанием u/f, что указывает на более эффективную работу ребер с профилями, имеющими меньшее отношение u/f при том же поперечном сечении. Количество теплоты, передаваемое стержнем подлинГ окружающую среду, очевидно, будет равняться количеству теплоты, проходящему через его основание.

Через основание стержня проходит тепловой лоток


Изменение

здесь Q измеряется в ваттах. Из уравнения (2-80) находим:

Подставляя значение градиента температуры при х=0 в предыдущее уравнение для теплового потока, получаем формулу, определяю-



щую количество теплоты, отданной стержнем в окружающую среду".

С = Я/т», = »,1/. (2-81)

в) Стержень конечной длины

Для стержня конечной длины дифференциальное уравнение (2-78) и его решение (2-79) сохраняет силу, но граничные условия будут другими:

при х = 0 » = »,;

при или

(2-82)

где О/ -температура на конце стержня; т - коэффициент теплоотдачи с торца стержня.

При x=/ имеет место равенство количества теплоты, подведенного к торцу стержня за счет теплопроводности и количества теплоты, отдаваемого поверхностью торца в окружающую среду за счет теплоотдачи. Для определения постоянных Ci и Сг в уравнении (2-79) используем граничные условия (2-82):

при л: = 0 8-,=C,-j-Cs; при х = 1

Из полученных уравнений (2-82) определяем постоянные С, и С:

(2-82)

иные знач

Подставляя полученные значения Ci и Сг в уравнение (2-79), получаем:

> = »,

уравнение

(2-83)

Умножив и разделив правую часть уравнения (2-83) на е"" и произведя простые алгебраические преобразования, получим:

» = ».



Напомним, что

=сЬ(л:) и sb{x).

С учетом сказанного уравнение (2-8С) запишется:

cblm(l-x)]+-sblm{l~x)]

» = »,----(2-83)

cb (ml)+-;sb (ml)

Если теплоотдачей с конца стержня пренебречь, то граничные условия (2-82) можно записать в виде

при х = 0 » = 8-,;

Последнее можно допустить для случая, когда а/ на торце стержня мало, а коэффициент теплопроводности материала % велик и отношение ailX-Ю, т. е. можно пренебречь теплоотдачей с торца стержня.

Для этих условий в соотношении (2-83) вторые члены числителя и знаменателя правой части обращаются в нуль и уравнение принимает вид:

здесь & измеряется в "С.

По формулам (2-83) и (2-84) можно вычислить температуру в любом сечении стержня. Обычно доля теплоты, отдаваемой с торца стержня, является величиной малой по сравнению с количеством теплоты, отдаваемым с поверхности ребра, и для практических инженерных расчетов, как правило, используется формула (2-84).

В предельном случае, когда х=1, формула (2-84) принимает вид:

К1 = -

сЬ (ml) •

Количество теплоты Qp, Вт, отдаваемое поверхностью ребра в окружающую среду, будет равно количеству теплоты, подводимому к основанию ребра:

Из уравнения (2-84) находим: Тогда

Qp=Xfmith(ml). (2-85)

Подставив т = Уа1Х в (2-85), получим:

Qp = », Viith \ml). (2-85

Если длина стержня очень велика, то сЬ. {ml)-ноо, а th(m/)«l. Тогда

и формула (2-85) превращается в (2-81). 62



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [16] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.0191