Главная Процесс переноса теплоты



Уравнение (2-93) представляет собой уравнение Бесселя, имеющее общее решение вида

« = C,/„(2)-fC2Ko(2), (2-94)

где /о(г) =/o(mr)-модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка; Ко{г) =Ko{mr)-модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка.

Эти функции имеют следующие свойства:

при г=0 1(,{тг) = 1 и Ка(тг)->-оо; *

при г=оо h(mr)->-оо и Кй(гпг)=0.

Постоянные С± и Сг определяются из граничных условий. Если теплоотдачей с торца круглого ребра пренебречь, то расчетные формулы будут иметь вид:

для текущей температуры в ребре

/о (mr.JIK. (тгг) + / (тг,) К„ (тг,) для температуры на конце ребра

п п /р (mrg) К, (тг,) + / (тг;) К„ (mfg).

- /„ (тг,) К, (тг,) + I, (тг,) К„ (тг,)

для количества теплоты

Q = - Я2т:г.6 j = 211Г,я8т&,1).

/, (тг,) К, (тг,) ~ /, (тг,) К, (тг,) о (mrt) Ki (тг,) -f- Л (тг,) К„ (тг,)

(2-95)

(2-96)

(2-97)

При пользовании этими формулами теплоотдача с торца может быть учтена условным )величснием высоты ребра (гг) на половину толщины торца.

Формулы (2-95) -(2-97) громоздки и мало удобны для технических расчетов. Поэтому для других ребер постоянного сечения, а также

д.пя различных прямых ребер переменного сечения расчет можно свести к методике расчета прямых ребер постоянного сечения. При этом количество теплоты, которое будет отдаваться поверхностью круглого ребра постоянной толщины,

q=ef?, (2-98)

-1.0

о аг

Рис. 2-16. е=/(©2/0,, rlr,) - вспомогательный график для расчета круглых ребер постоянной толщины.

где Q - количество теплоты, отдаваемое круглым ребром, Вт; F - поверхность круглого реб ра, м; qQjF - количество теплоты, отдаваемое в единицу времени единицей поверхности прямого ребра, толщина которого равна толщине круглого, а длина равна 1 м; е=/(вг/Й1, rzlti)-поправочный коэффициент, определяемый по кривым рис. 2-16.



Здесь вг/Й! - отношение температур на концах ребра, вычисленных по формулам для прямого ребра постоянного сечения.

Таким образом, вычисляя температуру на конце ребра и плотность теплового потока для прямого ребра и подставляя д и г в уравнение (2-98), получим значение теплового потока для круглого ребра.

г-10. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРЯМОГО РЕБРА ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ

При конструировании систем охлаждения для целого ряда машин, r особенности для летательных аппаратов, приобретает особую важность решение задачи максимального теплообмена при минимальной массе теплообменника. Возникает вопрос о том, какова оптимальная форма сечения ребра, имеющего минимальную массу при заданном тепловом потоке.

Ребро с минимальной массой [Л. 209]. Существо вопроса сводится к тому, чтобы каждая часть ребра использовалась с одинаковым эффектом, т. е. плотность теплового потока должна оставаться постоянной но всему поперечному сечению ребра. Это значит, что линии теплового потока должны быть параллельными оси ребра. При этих условиях температура вдоль линии теплового потока будет изменяться по линейному закону (рис. 2-17).

При заданной температуре у основания ребра ti и при температуре вершины ребра, близкой к температуре окружающей среды t-M, в силу одномерности задачи для любого сечения ребра можно записать:

-»=(-U.

(2-99)


2-17. Сечеиие минимального

где X - расстояние но оси ребра от его вершины; h - полная высота ребра.

Рассмотрим элемент поверхности ребра на расстоянии х. Пусть этот участок поверхности образует с осью ребра угол <р. Если плотность теплового потока вдоль оси ребра равна д, то через рассматриваемый элемент поверхности ребра она будет равна gsivKp (рис. 2-17). При этом должно быть справедливо соотношение

?8Шф=а(<-<ж), gsm9 = -x{t, - t).

(2-100)

Из равенства (2-100) следует, что угол <р является функцией толь-

sm9 = -x.

(2-100)

Контур ребра, найденный указанным методом, представляет собой дугу окружности с радиусом г, так как 8тф=х/г. Из уравнений (2-100) следует, что rgh/a-Hi. Доказано, что такой профиль ребра,



образованный дугами окружности, обладает минимальной массой. Такое ребро и ребро треугольного сечения но массе отличаются очень мало. По технологическим причинам проще изготовить ребра треугольного профиля, поэтому на практике они используются чаще, чем ребра, образованные дугой окружности.

Ребро треугольног.о и трапециевидного сечения. В практике нашли широкое применение прямые ребра как треугольного сечения с острой вершиной, так и с усеченной вершиной - трапециевидные.

Пусть заданы размеры трапециевидного ребра (рнс. 2-18) и избыточная температура bi у его основания. За начало координат целесообразно принять вершину треуго.1ь-чика, направив ось х вдоль оси симметрии ребра. При этом вектор плотности теплового потока q будет направлен в сторону, про--тиБоположную положительному направлению оси х [Л. 124].

Для такого ребра площадь поперечного сечення / будет функцией


Рис. 2-18. Перенос теплоты через прямое ребро трапецневнд-ного сечення.

только координаты х:

f=/6=2tetg<p.

Количество теплоты, которое будет отдаваться в окружающую среду с элемента ребра dx, будет равно:

аиЬ dx.

где а - коэффициент теплоотдачи на поверхности ребра; и -периметр сечения ребра на расстоянии х, который можно выразить как и=21; dx=dxlcos ф.

Произведя дифференцирование выражения (6) с учетом соотношения (а), получим:

После введения новой переменной z= (а/Хsin (f)х уравнение (в) приобретает вид:

d»9 . J d&

1-------Ь = 0. • (2-10П

dz г dz г

Дифференциальное уравнение (2-101) есть модифицированное уравнение Бесселя, решение которого имеет вид:

& = C./„(2l/7)-fC„(2KF), (2-102)

где /с и Ко - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода.

Постоянные Ci и Cs в уравнении 1(2-102) находятся из граничных условий, которые для рассматриваемого случая запишутся так: при x=xi имеет место

Если пренебречь потерями тепла с торца ребра, то при х=Хг имеем , Ь=-»2 н (d-»ldx) =0.

После определения постоянных Ci и Сг получим: для текущей температуры в ребре

д. /„ (2 Vz) К, (2 У) + /. (2 VI,) Ко (2 /Г) /„ (2 Vz,) к, (2 Vz,) + л (2 V) к, (2 Vz,)j

(2-103)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [18] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.0101