Главная Процесс переноса теплоты



для температуры иа конце ребра

а /. (2У) К, (2У7) + /, (2 У) К„ (2 У)

/. (2 Уг,) К, (2 KS) + /. (2 Уг,) К. (2 Kz,) Тепловой поток можно определить по закону Фурье:

/, (2/2.) к. (2 Кг) - /, (2 К г,) К. (2 Кг,

/о (2 Ki".) К, (2 KFs) -г /, (2 Ki) к„2 кг;

(2-104)

(2-105)

При пользовании этими формулами теплоотдача с торца может быть учтена условным увеличением высоты ребра h на половину толщины его торца 62/2.

Ес.чи ребро имеет треугольное сечение, то в этом случае Х2=0, а следовательно, и 22=0, /i(0)=0 и формулы (2-103) -(2-105) принн-матот вид:

/.(2 К?) /„2 Уг, • 1

/„(2К?,)

Л (2 Кг,)

(2-106)

(2-107)

-=-- (2-108)

.(2 Кг.)

Максимальный тепловой поток через ребро тре\тольного сечения данной массы будет иметь место при выполнении равенства

±=l,309f. (2-109)

Формулы (2-103), (2-104) и (2-105) громоздки п неудобны для практических расчетов. Поэтому расчет ребер переменного сечения можно свести к методике расчета прямых ребер постоянного сечения.

В этом случае

Q"=e"f"9, (2-110)

где Q" - количество передаваемой теплоты б единицу времени; F" - поверхность охлаждения ребра; q=QIF - плотность теплового потока для прямоугольного ребра, длина, высота и толщина которого равны длине, высоте п толщине суженного ребра; е" = = f(Wi, 62/61) - поправочный p„j, 2-19. e"=f(©/2®i, 62/61)-вспомога-коэффициент на суженность реб- 1е.аьиый график для расчета ребра трапе-ра; е" определяется по графику циевидного н треугольного сечений, рис. 2-19.

Нижняя кривая (при 62/61=1) соответствует прямому ребру постоянного сечения, а верхняя (62/61=0) -треугольному ребру.

Отношение вг/Й! вычисляется по формуле (2-84). Теплоотдача с торца ребра при этом учитывается путем увеличения высоты ребра h на половину толщины торца.




2-11. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПЛОСКОЙ ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ ОДНОРОДНОЙ ПЛАСТИНЫ

Рассмотрим плоскую однородную пластину шириной 6 с постоянным коэффициентом теплопроводности к н неограниченным размером Б направлении оси Оу (рис. 2-20) [Л. 204].

Предполагается, что на поверхностях пластины, опрГеделяемых координатами х=0, х=б и у->-оо, температура по.ддерживается постоянной н равной ti, а вдоль поверхности {/=0 температура является функцией координаты х, т. е. t=f(x). Предполагается, что пластина относительно тонкая в направлении оси Oz, а поверхности, параллельные координатной плоскости хОу, имеют идеальную тепловую изоляцию. Ввиду этого градиентом температур dt/dz можно пренебречь, и температурное поле такой пластины будет двухмерным.

Для двхмерной стационарной задачи без внутренних источников теплоты дифференциальное уравнение теплопроводности запишется:

где й -избыточная температура, отсчитанная от ti, т. е. -i.

Граничные условия:

»= Оприх = 0,8; 2 „2)

О при у-оо; f(x)-t,=F(x) при у=0.

Д.ПЯ решения уравнения в частных производных (2-111) воспользуемся методом разделения переменных. Предположим, что в = =f{x, y)-(li{x)iii{y). Тогда уравнение (2-111) приводится к виду

0=const. (2-113)

Правая и левая части уравнения одинаковы и постоянны. Обозначим их через -е. Таким образом, мы получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Ч>"{х)+е\(х)=0: (2-114)

Ф"({/)-еЧЫ=0. (2-115)

Решением дифференциального уравнения (2-114) является функция вида:

(p(x)=C,cos (EA:)-f Cjsin (ex). (2-116)

Согласно (2-79) общее решение уравнения (2-115) будет иметь

вид:

<Цу) +С,е-. (2-117)

Более подробно этот метод рассматривается в гл 3 применительно к задачам нестационарной теплопроводности.



Общее решение уравнения (2-111) получим после перемножения уравнений (2-116) и (2-117). Решение (2-116) будет удовлетворять граничному условию =0 при х-0, когда (p(jc)=0 при х=0, а это возможно при Ci=0. Условие Ь=0 при у->-оо выполняется тогда, когда (у)=0 при у->-оо что возможно лишь при Сз=0. Таким образом, решение для (2-111) приводится к виду

& = Ce~"sin (бх).

Для того чтобы полученное выражение удовлетворяло граничным условиям <>=0 при x=6, должно быть sin (е6)=0 или е=пя/6 (где п=1, 2, 3 ...).

Каждому значению п соответствует частное решение, а каждому частному решению соответствует свое значение постоянной интегрирования. Общее решение есть сумма частных решений для всех последовательных положительных значений чисел п:


Рис. 2-20 Полу-ограииченная пластина.

» =

/1=00 ПЯ

(2-118

Полученное решение удовлетворяет и третьему граничному условию, т. е. 0=0 при у->-оо.

Оставшиеся постоянные С„ определяются из граничных условий &=Р{х) при у=0. При этом

F(x)=5]C„sm(iHLy

Это равепстбо есть разложение функции F{x) в ряд Фурье по синусам. Коэффициенты ряда Фурье определяются следующим выражением:

Jf (x)smpx)rfx.

Окончательное решение для температурного поля рассматриваемой задачи с учетом последнего соотношения можно записать в виде

& = 41] . ""sinxJF(X)sin () dx.

(2-119)

Итак, окончательное решение рассмотренной двухмерной задачи после определения постоянных иптегрирования представится суммой бесконечного ряда.

Аналогичным образом можно получить решение и для сплошного цилиндра при изменении температурного поля в двух измерениях. Окончательное решение, как и для пластины, представится суммой бесконечного ряда.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [19] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.0685