Главная Процесс переноса теплоты



с учетом сказанного уравнение (2-137) принимает вид:

t=to+{b-x). (2-140)

При этом температура на оси симметрии пластины (х=0)

а перепад температур между осью симметрии стенки и ее поверхностью

„-4 = S- = -. (2-141)

До сих пор мы полагали, что коэффициент теплопроводности материала стенки постоянен. При больших перепадах температур может возникнуть необходимость в учете зависимости коэффициента теплопроводности от температуры. Часто эта зависимость имеет линейный характер:

X=Ml+bt).

Тогда

9„х = -ЯЛ1-Ь6<)~. (а)

Разделяя переменные и интегрируя последнее уравнение, получаем:

При х=0 имеем t-h, в этом случае из уравнения (б) следует: C = h + -t\.

Подставляя найденное значение С в выражение (б) и решая квад-ратное уравнение относительно t, получаем следующее, уравнение температурной кривой:

б) Теплопроводность однородного цилиндрического стержня

Рассмотрим круглый цилиндр (рис. 2-25), радиус которого мал но сравнению с длиной цилиндра. При этих условиях температура будет изменяться только вдоль радиуса.

Внутренние источники теплоты равномерно распределены по объему тела. Заданы температура окружающей среды Hi = const и постоянный по всей поверхности коэффициент теплоотдачи. При этих условиях температура во всех точках внешней поверхности цилиндра будет одинакова.

Для цилиндра, как и для пластины, задача будет одномерной и симметричной. Уравнение (2-132) при этом имеет вид:

Граничные условия:

приг = 0Щ=0;



Необходимо иайти уравнение температурного поля н тепловой пс-ток, а также значения температур на оси U и на поверхности tc-

Проинтегрируем уравнения (2-143). При этом произведем замену dt/dr=u. Тогда уравнение (2-143) запишется:

rdu-f udr-f-rdr = 0. После интегрирования получим:

"+ 2Х~ г •

После второго интегрирования получим:

= ~+С.1пг + С., (2-146)

где Ci и Сг определяются из граничных условий (2-144). При г=0 из (2-145) находим, что Ci=0 и

при г = г, (d dr),,,= -9Л/2Я.

Подставив последнее выражение в граничные условия (2-144), получим:

= «(с-«

Из (2-146) находим С:

(2 -гж + -2-+-47-

Подставив С, и Cj в уравнение (2-146), получим:

<=<ж + +(Л-0- (2-147)

Полученное уравнение дает возможность вычислить температуру любой точки цилиндрического стержня. Оно показывает, что распределение температуры в круглом стержне подчиняется параболическому закону.

Из уравнения (2-147) при г=0 найдется температура на оси цилиндра:

+тг-- (S-l

Плотность теплового потока на поверхности цилиндра:

9 = а(4-?ж) = . (2-148)



Полный тепловой поток с поверхности цилиндра.

Q = qF = 1-rJ.q,,-rJ.. (2-148)

Из уравнения (2-148) след\ет, что плотность теплового потока зависит только от производительности внутренних источников и от величины внешней поверхности го, через которую проходит тепловой поток.

Пусть теперь заданы граничные условия первого рода, т. е. температура поверхности цилиндра tc- Эти условия соответствуют частному случаю предыдущей задачи, если полагать, что коэффициент теплоотдачи а-оо. При этом, очевидно, 1т=(с- Тогда уравнение (2-147) примет вид:

=4+#[l-(-J]- (2-149)

Температура на оси цилиндра (при г = 0):

и = и + (2-150)

Если необходимо учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, заданную в виде ?.(/)=ло (1 + 6/), то, интегрируя зависимость

9„г= = -2,1гЯ„(1-ЬЙ)--.

получим:

i+-t = ~q.r\ + C. (2-151)

Значение постоянной С определяется из граничных условий. При г = 0 имеем t-t„ и С =-j-Подставляя это значение в уравнение (2-151) и решая его относительно t, получаем следующую зависимость для температурной кривой:

(2-152)

в) Теплопроводность цилиндрической стенки

Рассмотрим бесконечно длинную цилиндрическую степку (трубу) с внутренпим радиусом ri, наружным Гг и постоянным коэффициентом теплопроводности Внутри этой стенки имеются равномерно распределенные источники теплоты производительностью q„.

В такой стенке температура будет изменяться только в направлении радиуса и процесс теплопроводности будет описываться уравнением (2-143):

dr г dr к

Интеграл этого уравнения представлен выражением (2-146): t = ~-i-\-CMrJi-C,.

Постоянные интегрирования Ci и Сг в последнем уравнении определяются из граничных условий. Рассмотрим случаи, когда теплоотдаю-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [22] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.0141