Главная Процесс переноса теплоты



а другая - только х (метод разделения переменных):

©=©(т,х)=ф(т)я1)(х). (3-7)

После подстановки последнего выражения в дифференциальное уравнение (3-4) получим:

,(х)=..(х)

ф(т)я1)(х)=аф"(х)ф(т).

В этом уравнении легко разделяются перемеипые, и его можно записать следующим образом:

/Л=а+-1М. (3-8)

Левая часть уравнения (3-8) есть функция только т, а правая - функция только х.

Если зафиксировать аргумент х и менять только т, то при любом €го значении левая часть уравнения (3-8) равна постоянной величине, стоящей в правой части, т. е. ф(т)/ф(т) = const. Аналогично при фиксации т и изменении х правая часть уравнения (3-8) для любого значения X должна равняться постоянной левой части, которая зависит только от т, т. е. \1)"(л:)/ф(х) = const.

Так как равенство (3-8) должно иметь место при любых значениях X и т, то обе его части должны быть равны, одной и той же постоянной величине. Обозначим последнюю через е и перепишем соотношение (3-8):

Заметим, что нетривиальное решение для функции ф(д:) получаем не при всех значениях е, а только при е,<0. Так как е пока произвольная постоянная по численному значению, то полагаем 8=-/г. Подставляя это значение для е, получим:

1 у-(г) У{х) р " ¥(--) фм

откуда

¥(-£)+ aft¥(-=) = 0; (3-9)

Г{х) + к{Х)=0. (3-10)

Постоянная k определяется из граничных условий, а знак минус выбирается из физических соображений. Для тегловых процессов, стремящихся к тепловому равновесию, знак может быть только минус.

В результате мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений (3-9) и (3-10), которые легко интегрируются.

Уравнению (3-9) удовлетворяет функция ф(т) =Cie""°* .

Уравнению (3-10) удовлетворяет функция вида:

<р (л:) = Сг sin (kx) + Сз cos (kx).

Подставляя полученные выражения для ф(т) и ф(х) в уравнение {3-7), получаем частное решение:

»= [С2 sin (kx) + Cs cos (kx) ] C,e"°*" . (3-11)



Выражение (3-11) удовлетворяет исходному уравнению (3-4) при любых значениях постоянных Ci, C% Сз и fe.

Для того чтобы уравнение (3-11) было решением поставленной задачи, его нужно подчинить начальным н граничным условиям. Подчиняя уравнение (3-11) граничным условиям при х=0

находим:

\ [С, cos ikx) - Cjsin (kx)\

= 0,

Czcos (О)-Сззш (0),

откуда C2=0.

Это значит, что частное решение ях) =C2Sin (fex) должно быть отброшено как не удовлетворяющее заданным граничным условиям.

Если учесть, что С2=0, и обозначить CiC3=A, то уравнение (3-11) можно записать в виде

»=Ле-°*со8(л:). Подчинив частное решение (3-12) граничному условию

/5в ч о „

\дх),, г. с=ь,

получим:

- Ые~" sin (Щ = - Ле-°*"со8 (Щ. откуда после простейших преобразований получаем:

ctg(fe8) = -.

(3-12)

(3-13)

где абД=В!. Если обозначить йб = р,, то последнее выражение можно записать следующим образом:

ctgti=(i/Bi. (3-14)

Из анализа этого тригонометрического уравнения следует, что при каждом значении Bi существует бесконечное множество решений. Наиболее просто уравнение (3-14) можно решить графическим способом.

Обозначим левую часть уравнения (3-14) через yi=ctg[i,, а правую- через 1/2=/21. Пересечение котангенсоиды J/1 с прямой {/2 дает нам значение корней характеристического уравнения, т. е. \i (рис. 3-3).

Из рис. 3-3 следует, что мы имеем бесконечное множество значений величины \1п, причем каждое последующее больше предыдущего:

Ill<kl2<l3< ... <\1п< ...

Важно отметить, что каждому значению числа Bi отвечает своя совокуп-Рис. 3-3. К решению уравнения (3-14). Ность корней уравнения (3-14).




Значения для пластины

Таблица 3-1

0,001 0,002 0,004

0,006

0,008

0,01

0,02

0,04

0,06

0,08

0,0000 0,0316 0,0447 0.0632 0,0774 0,0893 0.0998 0,1410 0,1987 0,2425 0,2791 0,3111 0.4328 0,5218 0,5932 0,6533 0,7051 0,7506 0.7910 0,8274

3.I4I6 3,1419

3,1422 3,1429 3,1435 3,1441 3,1448 3,1479 3.1543 3,1606 3.1668 3,1731 3,2039 3,2341 3,2636 3,2923 3,3204 3,3477 3,3744 3,4003

6,2832 6.2833 6,2835 6,2838 6,2841 6,2845 6,2848 6,2864 6,2895 6,2927 6,2959 6,2991 6,3148 6,3305 6,3461 6,3616 6.3770 6,3923 6,4074 6,4224

9.4248 9.4249 9,4250 9,4252 9,4254 9,4256 9,4258 9,4269 9,4290 9,4311 9.4333 9.4354 9,4459 9,4565 9,4670 9,4775 9,4879 9,4983 9,5087 9,5190

1,0 1,5

2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 15,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 80,0 100,0

0,8603 0,9882 1.0769 1.1925 1.2646 1.3138 1.3496 1,3766 1,3978 1,4149 1,4289 1,4729 1.4961 1.5202 1.5325 1,5400 1,5451 1,5514 1,5552 1,5708

3,4256 3.5422 3,6436 3.8088 3,9352 4,0336 4,1116 4,1746 4,2264 4,2694 4,3068 4,4255 4,4915 4,5615 4,5979 4,6202 4,6353 4,6543 4,6658 4,7124

6,4373 6,5097 6,5783 6,7040 6,8140 6,9096 6,9924 7.0640 7,1263 7,1806 7,2281 7.3959 7,4954 7,6057 7,6647 7,7012 7,7259 7,7573 7,7764 7,8540

9,5293 9,5801 9,6296 9,7240 9,8119 9,8928 9,9667 10,0339 10,0949 10,1502 10,2003 10,3898 10,5117 10,6543 10,7334 10,7832 10,8172 10,8606 10,8871 10,9956

Первые четыре корня уравнения (3-М) ц, н ,Ц4 приведены в табл. 3-1 для различных значений числа Bi (от О до оо).

При Bi-юо прямая 2=n/Bi совпадает с осью абсцисс и копни уравнения будут равны:

=-: i = --ji: ti.,= --t-. v-n=(2n-i)~.

При Bi->-0 прямая уг=1х./В1 совпадает с осью ординат и тангенс угла наклона прямой стремится к бесконечности, при этом корни уравнения (3-14) равны;

Ц1=0; Ц2=я; цз=2л; ц„=(п-1)л,

где п=1, 2, 3 ...

Для других конечных значений числа Bi величины а„ имеют промежуточные значения (см. табл. 3-1).

Следовательно, каждому найденному значению корня и будет соответствовать свое частное распределение температуры:

»,=4.cos(,..-f)e" », = Acost,--je~

(3-15)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [25] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.013