Главная Процесс переноса теплоты



Полученные частные решения (3-15) будут удовлетворять дифференциальному уравнению при любых значениях постоянных Аи Лг, ... ..., An, но ни одно из этих решений не будет соответствовать действительному распределению температуры в начальный момент времени. Однако путем наложения бесконечного числа таких распределений при соответствующем выборе величин Л„ можно воспроизвести любую действительную температурную зависимость в начальный момент времени.

На основании сказанного общее решение можно представить суммой бесконечного ряда:

»= J]A.cos(,.„--)e (3-16)

Известно, что если отдельные распределения (3-15) удовлетворяют дифференциальному уравнению (3-4) и граничным условиям (3-6), то и сумма их также удовлетворяет тем же условиям.

Постоянная Л„ в уравнении (3-16) найдется из начальных условий. Подчинив уравнение (3-16) начальному условию, получим:

». = f (X) = J] Л„ cos (ft. -f). (3-17)

Уравнение (3-17) есть разложение четной функции в ряд Фурье с заданными параметрами цп, определяемыми характеристическим уравнением (3-14). Для этой последовательности чисел ц„ справедлива формула

cos(.f)cos(..i).x = (=«"«---

фО при п=т.

с помощью которой можно определить все коэффициенты Л„ в уравнении (3-17). Для этого умножим обе части уравнения (3-17) на cos (n„x/e)dx и затем проинтегрируем полученное соотношение по толщине пластины. Тогда

+8 +S

JF{X)cos(v.„-dx=An jcos(v.„-yx, (3-18)

ибо все остальные слагаемые в правой части, для которых пфт, обращаются в нуль. Интеграл в правой части соотношения (3-18) равен

8(1-I-,-!-sin 2).

Тогда

=.(,„+s.n:::cos,„) {f(.)cos(.„-f)rf.. (3-191

Из уравнения (3-19) следует, что Ля является функцией только корня характеристического уравнения и начального распределения температуры.



Подставив полученное выражение для постоя-нной Л„ в уравнение (3-16), получим окончательное выражение для температурного поля при охлаждении однородной пластины:

«->оо +6

а(,„ + сс:;„..м f f Wcos(.„4jdx cos (.„4-)

(3-20)

Уравнение (3-20) позволяет получить значение температуры в любой точке пластины для любого момента времени т при любом начальном распределении температуры ©о-

Если в начальный момент времени (т=0) температура в пластине распределена равномерно (рис. 3-2), т. е. U-<m=So=const, то интеграл Б уравнении (3-19) равен (Фо26/ця) sin ц„. С учетом сказанного выражение для постоянной Л„ принимает вид:

Подставляя значение Л„, полученное для случая равномерного распределения температуры в пластине в начальный момент времени, в уравнение (3-20), получаем:

Уравнению температурного поля (3-221 целесообразно придать безразмерную форму. Для этого разделим правую и левую части уравнения (3-22) на до. При этом обозначим:

После этих преобразований получим:

=1 -ОТ (- Я (-

Входящие в уравнение температурного поля (3-23) величины D„;

ах X ,

ц„; -ji-; -J- являются безразмерными и имеют следующий смысл:

е-/Фо=е - безразмерная температура; х/6=Х - безразмерная координата; ат/б2=Ро - число Фурье, представляющее собой безразмерное время; d„ - безразмерный коэффициент.

С учетом последних обозначений уравнение (3-23) запишется:

S p.„+srt!cosH.„ "(l-)(-1"(3-24)

Анализ полученного решения. Так как щ, цг.....Цп представляет собой ряд возрастающих чисел, то чем больше ц, тем меньше

6-87 81



роль последующего члена ряда по сравнению с предыдущим. Кроме того, чем больше число Fo, тем члены ряда будут убывать быстрее с увеличением номера п.

Многочисленные исследования показали, что уже при Fo0,3 ряд (3-24) становится настолько быстросходящимся, что распределение температуры достаточно точно описывается первым членом ряда:

е- ,.+sl!.;:ccs,. cos(ft)exp(-,-.Fo). (3-25)

Ранее обозначено 2sin m/(p,i+sin ц] cos ni) =1)1. С учетом этого обозначения уравнение (3-25) можно записать в следующем виде:

e=DiCOS (щХ) ехр (-ц2,Ро). (3-25)

Величина Di является только функцией числа Bi и заранее может быть рассчитана и табулирована. Кроме того, если рассматривать температуру для определенного значения Х=х/Ь, то и cos (ni-) является функцией Bi. Конкретно для оси пластины ->f=x/e=0 и cos(n].0) = l, а для поверхности Х=х1Ь=\ и cos (щ-1) =со31Ц1.

Для оси пластины произведение Dt cos (0) обозначим как некоторую функцию iV(Bi). Тогда уравнение (3-25) можно записать в следующем виде:

ejs:=o=W(Bi) ехр (-ц2,Ро). (3-26)

Для поверхности пластины произведение Dt cos xl обозначим как некоторую функцию f (Bi) и уравнение (3-25) запишется так:

вх=1=Р{Ы) ехр (-м,2,Ро). (3-27)

Функции iV(Bi) н Р(Щ в уравнениях (3-26) н (3-27) табулированы и для расчета могут быть взяты из справочников [Л. 82, 164, 182]. Кроме того, из уравнений (3-26) н (3-27) следует, что при заданной координате безразмерная температура является только функцией двух безразмерных параметров Bi и ро:

ejs:=o=fi(Bi, Fo) и &x=i42(Bi, Fo).

Логарифмируя уравнение (3-26), получаем:

ln0js: o=ln(Bi)-niFo. (3-28)

Аналогичное уравнение может быть получено после логарифмирования уравнения (3-27).

Из уравнения (3-28) следует, что при заданном значении координаты и при заданном Bi натуральный логарифм безразмерной температуры линейно зависит от времени. Последнее обстоятельство дает возможность представить для уравнений (3-26) и (3-27) графическое решение (рис. 3-4 и 3-5).

Из уравнения (3-24) следует, что в условиях охлаждения (нагревания) пластины для любого момента времени при заданных граничных условиях поле температуры имеет вид симметричной кривой с максимумом на оси пластины (Х=0). Для каждого последующего момента времени будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхностям пластины. При этом для любого момента времени касательные к кривым в точках Х±1 проходят через две направляющие точки +А и -А - расположенные на расстоянии ±Хо от поверхности пластины, Х„==11В\ (рис. 3-6).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [26] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.0138