Главная Процесс переноса теплоты




s w к n IB IS го гг м ге гв зо

Рис 3-4 Зависимость e=/,(Fo, Bi) для середины пластины.


Рис 3-5 Зависимость e=/j(Fo, Bi) для поверхности пластины.



Для доказательства этого важного свойства рассмотрим температурное поле для произвольного момента времени Fb>0.

Умножив граничное условие (3-6) при х=±Ь на б/во, получим:

Записывая последнее выражение в безразмерных величинах, будем иметь:

Из рисунка следует, что

Сравнивая выражения (а) и (б), получаем: x -

(б) (3-29)

Из уравнения (3-29) следует, что расстояние точки А от поверхности определяется заданными условиями однозначности, которые спра-

ведливы для .чюбого момента времени. Следовательно, касательные ко всем температурным кривым в точке пересечения с поверхностью пластины и неизменных граничных условиях всегда будут проходить через точку А. Сказанное справедливо не только для пластины, но и для цилиндра, шара и тел других геометрических форм.

Доказанное свойство температур-пых кривых дает возможность определить характер изменения температуры в те.те при заданном значении числа Bi. Рассмотрим при этом три случая.

1. Случай. когда Bi-

Fg,>Fo

N \

1 j i

-г --

Фнс. 3-6. Изменение температурного поля Б плоской неограниченной стенке при ее охлаждении

(практически Bi> 100). Если число Bi стремится к бесконечности, то температура поверхности пластины сразу становится равной температуре окружающей среды, в которую помещена пластина. Последнее видно из уравнения (3-29): при Bi->-оо Xo=l/Bi=0. Это означает, что точка пересечения касательных к температурным кривым находится на поверхности пластины. Из Bi = = (бД)/(1/а) следует; Bi->-оо прн заданных физических параметрах и толщине пластины тогда, когда а->-оо, т. е. когда имеет место очень большая интенсивность отвода теплоты от поверхности. В этих случаях процесс охлаждения определяется физическими свойствами и размерами тела. При этом ц„=2(п-1)и тогда коэффициент ряда (3-24):

2 sin „

j.„ -I- COS 1j.„ sin ij.„



2 sin

4 (-

!.(2n-1)

(2п -l)-2- + sin

(2л-1)

Общее решение для рассматриваемого случая принимает ввд: Тогда температура на оси пластины (А=0) ПриА=1 со8Г(2/7-=0, и, следовательно, в, = 0.

(3-30)

(3-31)

Распределение температуры в пластине при Fb>0 показано на рис. 3-7; здесь Foi<Fb2<Fos<Fo4< ... <Fo„. Как было сказано, при Fo0,3 ряд (3-24) быстро сходится и ошибка не превышает 1%, если отбросить все ч.пены ряда, кроме первого. При этих условиях уравнение (3-31) принимает вид:

ехр

) пролог la Fo, то

(3-32)

Если уравнение (3-32) прологарифмирова.ть п решить относительно числа Fo, то получим:

(3-33)

уравнение (3-33)

Учитывая, что Ро=ат/в можно записать в виде

2вл= 1

Рис. 3-7, Распределение температуры 8 плоской стенке при ее охлаждении в условиях Bi-*-оо; Foi<

<Р02<РОз<Р04.

По формуле (3-33) можно определить время, необходимое для прогрева середины пластины до заданной температуры.

2. Очень малые числа Bi (практически Bi<0,l). Если число Bi мало, то все коэффициенты членов ряда D-n-->-0, поскольку теперь (п-1)я, за исключением Di, который равен:

2 sin ]

+ sin 1 cos jj.,

Из выражения Bi= (6Д)/(1/а) видно, что малые значения числа Bi могут иметь место при малых размерах толщины пластины, при больших значениях коэффициента теплопроводности Я и малых значениях коэффициента теплоотдачи а. Следует заметить, что при малых значениях Ц1 функции tg ц, и sin ц, можно заменить через их аргумен-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 [27] 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.0661