Главная Процесс переноса теплоты



ты, и тогда характеристическое уравнение (3-14) запишется:

Учитывая сказанное, уравнение (3 24) можно переписать так:

е=cos (ik,X) ехр [-Fo) cos (KBi X) ехр (-Bi Fo). Найдем температуры на оси и на поверхности пластины: при ХО в! о=ехр (-Bi Fo);

прил:=1

в , = cos(KBi)exp(-BiFo). Отношение температур на оси и поверхности пластины

(3-34)

(3-35) (3-36

ехр(-BiFo)

"cos (Щ ехр (-Bi Fo)

Прн малых Bi температура на поверхности пластины незначительно отличается от температуры на оси. Это указывает на то, что температура ио толщине пластины распределяется равномерно и кривая температур остается почти параллельной оси ОХ для любого момента времени (рис. 3-8).

Касательные к температурным кривым в точках пересечения их с поверхностью должны пересекаться с осью абсцисс в бесконечности:

\Го,

Рис, 3-8. Распределение температуры в плоской стенке при ее охлаждении в условиях В1-1-0; Foi< <f02<Fos<Fo4.

Fo=0


Рис. 3-9. Распределение температуры в плоской стенке при ее охлаждении в уело виях, когда Bi - конечная ве.чнчииа; Fo,<F02<Fo3<Fo4.

при Bi-»-0 имеем 0=1/61-s-oo.

В рассматриваемом случае процесс нагрева и охлаждения тела определяется интенсивностью теплоотдачи на поверхности пластины. Иначе говоря, процесс выравнивания температуры в теле происходит существенно интенсивнее, чем отвод теплоты с поверхности. Задача становится внешней.

3. Число Bi находится в пределах 0,lBi<100. В рассматриваемом случае рп есть ()ункция Bi, т. е. зависит от толщины пластины. емпературные кривые для любого момента времени будут выглядеть, как показано на рис. 3-9. В этом случае интенсивность процесса охлаждения (нагревания) определяется как внутренним, так и внешним термическими сопротивлениями.

3-4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ТЕПЛОТЫ, ОТДАННОГО ПЛАСТИНОЙ В ПРОЦЕССЕ ОХЛАЖДЕНИЯ

Количество теплоты qn, Дж, которое отдает или воспринимает пластина с обеих сторон за время от т=0 до т=оо, должно равняться изменению внутренней энергии пластины за период полного ее охлаждения (нагревания):

Qp=26frc(/o-(ж).

(3-37)



Тогда за любой промежуток времени от т=0 до Ti или, что то же, «от Fo до Foi, внутренняя энергия пластины изменится на

или

Q = Q„(l-e,), (3-38)

где &\={ti-t,x)/{fo-t")-средняя безразмерная температура по толщине пластины в момент времени ti.

Из соотношений (3-37) и (3-38) следует, что расчет количества теплоты, отданного или воспринятого пластиной, сводится к нахождению средней безразмерной температуры в интересующий нас момент времени. Средняя безразмерная температура для слоя пластины от оси симметрии до плоскости X найдется как

в соответствии с теоремой о среднем.

Если в это выражение подставить под знак интеграла значение в из уравнения (3-24) и проинтегрировать в пределах от нуля до единицы, то получим:

в= V , , 2""-ехр (-1.„Fo). (3-39)

/1=1

Подставив в уравнение (3-38) вычисленное по формуле (3-39) значение средней температуры пластины для интересующего нас момента времени, получим количество теплоты, отданное пластиной в окружающую среду за рассматриваемый промежуток времени.

При Bi-->-сх) (практически Bi>100) уравнение (3-39) принимает

вид:

Если Bi-И) (практически Bi<0,l), уравнение (3-39) принимает вид:

©=ехр (-BiFo). (3-41)

При значениях числа Fo0,3 для пластины можно ограничиться первым членом ряда (3-39), тогда

"=>.-ьГ";.сс... exp(-.-.Fo). (3-42)

Лножитель 2 sin nil(iih + [i., cos р, sin pi) зависит только от числа Bi « может быть представлен как некоторая функция M(Bi), тогда уравнение (3-42) запишется:

ё=ЛГ(В1) ехр (-niFo). (3-42)

Функция M(Bi) может быть заранее рассчитана и представлена ъ таблицах. Тогда расчет средней температуры будет сводиться к вычислению экспоненты.



3-5. ОХЛАЖДЕНИЕ (НАГРЕВАНИЕ) БЕСКОНЕЧНО ДЛИННОГО ЦИЛИНДРА

Цилиндр радиусом Го отдает тепло окружающей среде через свою боковую поверхность; коэффициент теплоотдачи а во всех точках поверхности одинаков и остается постоянным на протяжении всего периода охлаждения. Температура среды постоянна. В начальный момент времени при т=0 температура является некоторой функцией t{r, 0)=f(r). Отсчет температуры цилиндра будем вести, как и в § 3-3, от температуры среды, т. е. /-iBi=S. При этих условиях уравнение теилопроводности принимает вид:

T+y-Pi- (3-43)

бг < г дг J

Граничные и начальные условия: при т=0 и Огго

при т>0 и г=0

при с>0 и г = г„

«=Oo=f(r)-f»=f(r);

Сформулированную задачу решим с помощью разделения переменных, т. е. О-(г, т) =ф(т)1) (г). Подставляя это выражение в уравнение (3-43), получим два обыкновенных дифференциальных уравнения вида

ф(т)-)-ай2ф(т)=0; (3-44)

rir)+V{r) + k(r) = 0. (3-45)

Из предыдущего параграфа известно, что уравнение (3-44) имеет решение:

9(-.) = С.е-*\ (а)

Уравнение (3-45) есть уравнение Бесселя, общий интеграл которого имеет вид:

ф (г) = Сг/с {kr) + СзУо {kr), (б)

где Ci и Сг - постоянные интегрирования, Jo и Ус - функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка. Так как температура на оси цилиндра (=0) должна быть конечной величиной, а Уо(0)->-оо, то из физических соображений частное решение уравнения (3-45) не должно содержать бесселеву функцию второго рода и Сз должно быть равно нулю.

С учетом сказанного уравнение (б) принимает вид:

t{r)=C2h{kr). (в)

Если обозначить Аго=р, тогда частное решение уравнения (3-43) будет иметь вид:

-1"- / \ »(г, т) = Се (3.46)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 [28] 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.0816