Главная Процесс переноса теплоты



Постоянная ц в уравнении (3-46) определяется из граничных условий (г=го), решение которых приводит к характеристическому уравнению

KMJL- (3-47)

здесь /i(n) -функция Бесселя первого рода первого порядка.

Уравнение .(3-47) является трансцендентным, и его удобно решать графическим способом, обозначив:

p/Bi=(/i; /о(ц) 1(ц)=№.

Отметим, что у2 обращается в нуль в тех точках, для которых /о(ц)=0.

В тех точках, в которых функция Ji(ni) обращается в нуль, функция у2 претерпевает разрыв непрерывности и становится равной ±оо. Функции /o(i) и Л ((г) являются периодическими затухающими функциями, а кривая y2=/o(p) i(p) напоминает котангенсоиду, но с убывающим периодом. Функция yi= = n/Bi графически представляет прямую линию, проходящую через начало координат. Выполнив построение, как показано на рис. 3-10, в точках пересечения функции yz с прямой (/1 получим значения корней характеристического уравнения (3-47). Из рис. 3-10 следует, что уравнение (3-47) имеет бесчисленное множество решений, а сами

корни, как и для пластины, представляют ряд возрастающих чисел,

т. е. щ<Ц2<рз< ... <[1п, где п=1, 2, 3.....оо.

Первые четыре корня уравнения (3-47) fu, р,2, цз и р4 приведены 8 табл. 3-2 для различных значений числа Bi (от О до оо).


Рис. .3-iO. К решению уравнения (3-47).

Общее решение будет суммой всех частных решений (3-46):

( = ]°ад(,„) ехр {-vr.} (ЗА8)

С„ в уравнении (3-48) находится из начальных

Постоянная условий.

При т=0 e=&o=f (г) и уравнение (3-48) принимает вид:

(349)

Видим, что (3-49) представляет собой разложение функции F{r) в ряд Фурье по функциям Бесселя, а для такой последовательности



Таблица 3-2

Значения м*л для цилиндра

0,01

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,15

0.20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0.90

0,0000 0,1412 0,1995 0,2814 0,3438 0,3960 0,4417 0,5376 0,6170 0,7465 0,8516 0,9408 1,0184 1,0873 1,1490 1,2048 1,2558 1,4569

3,8317

3,8343 3,8369 3,8421 3,8473 3,8525 3,8577 3,8706 3,8835 3,9091 3,9344 3,9!594 3,9841 4,0085 4,0325 4,0562 4,079.! 4,1902

7,0156 7,0170 7,0184 7,0213 7,0241 7.0270 7.0298 7,0369 7,0440 7,0582 7,0723 7,0864 7,1004 7,1143 7,1282 7,1421 7.1558 7,2233

10,1735 10,1745 10,1754 10,1774 10,1794 10,1813 10,1833 10,1882 10,1931 10,2029 10,2127 10,2225 10,2322 10,2419 10,2519 10,2613 10,2710 10,3188

2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 15,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 80.0 100,0

1,5994 1,7887 1,9081 1,9898 2,0490 2,0937 2.1286 2.1566 2,1795 2,2509 2,2880 2,3261 2,3455 2,3572 2.3651 2.3750 2,3809 2.4048

4,2910 4,4634 4,6018 4,7131 4,8033 4,8772 4,9384 4,9897 5,0332 5,1773 5,2568 5,3410 5,3846 5,4112 5,4291 5,4516 5,4652 5,5201

7,2884 7,4103 7,5201 7,6177 7,7039 7,7797 7,8464 7,9051 7,9569 8,1422 8,2534 8,3771 8,4432 8.4S40 8.5116 8,5466 8,5678 8,6537

числа Сп определяются по формуле

После интегрирования знаменателя получаем:

10,3658 10,4566 10,5423 10,6223 10,6964 10,7646 10,8271 10,8842 10,9363 11,1367 11,2677 11,4221 11,5081 11,5621 11,5990 11,6461 11,6747 11,9309

(3-50)

(3-51)

Подставляя полученное выражение для С„ в уравнение (3-48), получаем:

(3-52)

Уравнение (3-52) справедливо при любом начальном распределении температуры в цилиндре.

Если в начальный момент времени (т=0) температура распределена равномерно, т. е. ©о=/(г) =const, то интеграл в уравнении (3-52)



Для этих условий уравнение температурного поля принимает вид:

Обозначим: Ь/Ьо=@ - безразмерная температура; r/ro=i/? - безразмерная координата, которая изменяется в пределах 0/?1; ат:1г\=Ро - число Фурье для цилиндра.

С учетом этих обозначений последнее выражение запишется Б виде

П-¥00

2/, (н.„)

Заметим, что все принципиальные выводы, сделанные при анализе решения для пластины, справедливы и для цилиндра.

Из характеристического уравнения (3-47) видно, что корни ц„ зависят только от Bi. Поэтому уравнение температурного поля можно представить в виде обобщенной функции от безразмерных параметров:

e = f •) = F(R. Bi.Fo). (3-54)

Если рассматривать значение температуры на оси цилиндра (/?= =0), то уравнение (3-53) запишется следующим образом:

«=f .Лл!(;1)+/М..)-Ь.-.Ро1. (3-55)

На поверхности цилиндра

SiMTTOra-W-Pl-..Fo]. (3.56)

При Bi-оо (практически Bi>100) прямая совпадает с осью абсцисс и корни характеристического уравнения ие зависят от Bi, а определяются из условий /о(ц) =0.

В этом случае процесс охлаждения определяется физическими свойствами тела и его геометрическими размерами. При этом уравнение (3-53) принимает вид:

/о(!„?)ехр[-ЛРо]. (3-57)

Если рассматривать охлаждение цилиндра при условии Bi-Я) (практически Bi<0,l), то при разложении функций /о(ц) и /i(p) в степенные ряды они становятся настолько быстросходящимися, что можно ограничиться первыми членами ряда, и тогда (t=2Bi.

Действительно,

/.W Bi - ! !



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 [29] 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.0113