Главная Процесс переноса теплоты



Решая уравнение (3-66) методом разделения переменных и подчиняя полученное решение условиям (3-67), получим

Ij (j,„-sm(y„cos(i„)(i„r 11 t-n j. V

здесь е=в/во; Rrjro.

Постоянная ц в уравнении (3-68) является корнем характеристического уравнения, которое для шара имеет вид:

tg.=-r. • (3-69)

Уравнение (3-69) является трансцендентным, имеет бесчисленное множество корней при заданном значении Bi и решается аналогично уравнению (3-14). Значения шести корней уравнения (3-69) для различных Bi приведены в [Л. 111, табл. 6-5].

При Bi->-оо согласно характеристическому уравнению (3-69)

ц„=пя,

при этом «начальная тепловая амплитуда» уравнения (3-68)

£) 2(51п;л„-ц.„с05ц.п) j,„+,

" (j., - sin (1„ cos (1„ С учетом последнего уравнения формула (3-68) принимает вид:

е= Yi 2(-l)"+sin(n,t/?)expl-(n)=Fo]. (3.70)

При Bi=l согласно уравнению (3-69):

(2«- 1)--, С„ = 2(-П"+-~, и уравнение (3-68) запишется:

e=(-ir*;;iexp(-Fo). (3-71)

При малых значениях Bi (Bi<0,l) начальные амплитуды (D„) всех членов ряда (3-68), за исключением первого, стремятся к цулю. Начальная амплитуда первого члена ряда Di=\, а ni=3Bi. При этих условиях соотношение (3-68) запишется так:

e=5!jgexp(-3BiFo). (3-72)

Из анализа уравиеиия (3-68) следует, что при значениях Fo>0,25 ряд становится настолько быстросходящимся, что для выражения температурного поля можно ограничиться первым членом ряда:

g 2 (sincos,..) in(p

. - sin . cos . fx i-i • \ I

Так как p„ в уравнении (3-68) зависят только от числа Bi, то уравнение температурного поля может быть записано в виде

e=F(R, Bi, Fo). (3-74)

Подробное решение приведено в монографии А. В. Лыкова [Л. 111].



eB=o=fi(Bi, Fo).

(3-74)

Для центра шара Для поверхности шара

en=t=F2(Bi, Fo). (3-74")

Функции, определяемые выражениями (3-74) и (3-74") для ра.ялич-ных значений чисел Bi и Fo, представлены иа рис. 3-13 и 3-14.

Аналогично, как для пластины и цилиндра, количество теплоты, которое отдается или воспринимается шаром за промежуток времени


Рис. 3-13. Зависимость e=fi(Fo, Bi) для центра шара.


Рис. 3-14. Зависимость e=Fg(Fo, Bi) для поверхности шара


Рис 3-15 Зависимость 0/0„=F(Fo, Bi)



от т=0 до X, найдем по формуле

(3-75)

В уравнении (3-75) Qn=-itr(,pc(<„-У - начальная избыточная внутренняя энергия шара. Из рассмотрения (3-75) следует, что

=F(Bi, Fo). (3-76)

Значения функции (3-76) для различных значений чисел Fo и Bi представлены на рис. 3-15.

3-8. ОХЛАЖДЕНИЕ (НАГРЕВАНИЕ) ТЕЛ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ

а) Охлаждение параллелепипеда

Рассмотрим охлаждение параллелепипеда в среде с постоянной температурой и с постоянным коэффициентом теплоотдачи а иа всех его гранях. В начальный момент времени (т=0) все точки параллелепипеда имеют одинаковую температуру to- Параллелепипед с размерами 26,;X26„X26z является однородным и изотропным. Требуется найти распределение температуры в параллелепипеде для любого момента времени, а также среднюю температуру, необходимую для определения количества подведенной (отведенной) теплоты.

Поместим начало координат в центре параллелепипеда (рис. 3-16). При этом дифференциальное уравнение запишется следующим образом:


Рнс. 3-16. К охлаждению параллелепипеда.

""аГ--У-/(х. у. г, X).

Начальные условия (т=0)

t{x, у, z)=<o=const.

(3-77) (3-78)

При заданных условиях задача симметрична относительно центра параллелепипеда. Если ввести обозначение ()=<-(ж, то граничные условия запишутся так:

а) для поверхности при t>0

(3-79)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [31] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.0231