Главная Процесс переноса теплоты



б) в центре нараллеленинеда при т>0

(3-80)

Параллелепипеды, цилиндры конечных размеров и прямоугольные стержни можно рассматривать как тела, образованные пересечением соответственно трех взаимно перпендикулярных неограниченных пластин конечной толщины, цилиндра и пластины и двух пластин.

Можно доказать, что решение таких задач представляется произведением безразмерных температур для тел неограниченных размеров, в результате пересечения которых образовалось рассматриваемое тело.

Как было сказано, параллелепипед образован в результате пересечения трех взаимно перпендикулярных безграничных пластин конечной толщины. Следовательно, для него и решение можно представить, как произведение безразмерных температур для трех безграничных пластин:

в = вхву@г, (3-81)

„ t{x, i) - t„ . а Чу- о ((г. т)-<„

"- h-t„ • t,-t

Общее решение (3-81) в развернутом виде запишется следующим образом:

t(K. у, Z. т) -т) -<„ Ну, !) - <, t(z, т) -<„ - tr=tZ t-: <„-(» •

Приведенное решение удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и граничным условиям, описывающим процесс теплопроводности в параллелепипеде.

Таким образом, решение задачи для рассматриваемого тела конечных размеров свелось к решению задачи для безграничной пластины конечной толщины. Уравнение (3-81) можно представить в виде:

e=Fx(X, Bi:,, Fo4F»(y, Biy, ¥oy)F,(Z, BU, Fo.). (3-81")

Множители в уравнении (3-81) вычисляются по формуле (3-24).

Рассмотренный метод известен в теории теплопроводности под названием теоремы о перемножении решений. Полученное решение справедливо и для нахождения средней температуры.

Средняя безразмерная температура параллелепипеда выражается следующим образом:

гГ Г(г) - Г(-1),-(„ Нт)у - 1„ Г(г),-

е = еАег = ?«(в1„ ¥о)Ру(Ъ\у, Fo„)F(Biz, Fo. (3-82>




Рис. 3-17. К охлаждению полу-ограничениого прямоугольного стержня.

В уравнении (3-82) множители находятся по формуле (3-39). Залетим, что теорема о перемножении решений справедлива и в более общем случае, когда коэффициенты теплопроводности различны для различных направлений, коэффициенты теплоотдачи иа гранях разные.

б) Охлаждение длинного прямоугольного стержня

Однородный стержень охлаждается в среде с постоянной температурой (и и при постоянном коэффициенте теплоотдачи на его поверхности. В начальный момент времени (т=0) все точки стержня имеют одинаковую температуру.

Поперечное сечение стержня представляет собой прямоугольник размерами 2бжХ X2e;, (рис. 3-17)! Такое тело можно рассматривать как результат пересечения двух пластин толщиной 26х и 26у, условия однозначности для которых такие же, как и для образовавшегося стержня. Безразмерное температурное поле для поставленной задачи есть

e=ee, (з-82)

вх=Р4Х, Bi„ Fo4 и ey=Fy(Y, Biy, Fo.).

Множители в уравнении (3-82) вычисляются по формуле (3-24).

в) Охлаждение цилиндра конечной длины

Однородный цилиндр охлаждается в среде с по-стояпной температурой Коэффициент теплоотдачи а на основаниях цилиндра и его поверхности одинаков. В начальный момент (т=0) все точки цилиндра имеют одинаковую температуру (о. Диаметр цилиндра равен 2го, длина t=2bz (рис. 3-18). Необходимо найти распределение температуры в цилиндре для любого момента времени и среднюю температуру как функцию времени для заданных условий однозначности. Конечный цилиндр можно рассматривать как результат пересечения безграничных цилиндра диаметром 2го и пластины толщиной 2бг; следовательно, и без-температуру для такого тела можно записать как


Рпс. 3-18. к ох.1аж-дению цилиндра конечной длины.

размерную

(3-83) ((3-83)

В уравнении (3-83) множители правой части находятся по формулам (3-24) и (3-53), причем в качестве определяющих линейных размеров в уравнении (3-24) берется половина высоты цилиндра 6z,



а в уравнении (3-53) -радиус пилиндра го. Средняя температура в цилиндре для любого момента времени

s- <"WГ(ту-(„

G = ez0r = fz(Biz. FoJ/,(Bv, Fo.

(3-84)

В уравнении (3-84) множители вычисляются по формулам (3-39) и (3-65).

3-«. ЗАВИСИМОСТЬ ПРОЦЕССА ОХЛАЖДЕНИЯ (НАГРЕВАНИЯ) ОТ ФОРМЫ И РАЗМЕРОВ ТЕЛА

Скорость процесса распространения теплоты в телах зависит от отношения поверхности тел к их объему. Исследования процессов охлаждения тел указывают на то, что чем больше отношение поверхности тела к его объему, тем и скорость протекания процесса будет больше. Сказанное справедливо для любых значений числа Bi и может быть наглядно продемонстрировано иа примере охлаждения пластины,

ЬОг,

о.г о,з

Гп=ат/г

Рис. 3-19. Скорость охлаждения в центре для различных тел с одинаковым характерным линейным размером U.

I - безграничная пластина; 2 - квадратная балка бесконечной длины: 5 - цилиндр бесконечной длины: < -куб: 5-цилиндр, длина равна диаметру: е -шар.

длинного цилиндра и шара. При Bi=0 для пластины, цилиндра и шара уравнения температурного поля запишутся соответственно

епл=ехр (-BiFo); бцилехр (-2BiFo); еш=ехр (-SBiFo).

Из приведенных уравнений следует, что при одинаковом определяющем размере и прочих равных условиях наибольшая скорость изменения температуры во времени будет наблюдаться для шара. Если сравнивать отношения поверхности к объему для пластины, цилиндра и шара, то их можно представить как 1:2:3.

На рис. 3-19 приведены кривые изменения температуры во времени на оси и в центре тел различной геометрической формы при одинаковом значении числа Bi. Из рис. 3-19 следует, что для шара скорость охлаждения больше, чем для любого другого тела. Слг,п-ует no;ii-i!-,. что все сказанное справедливо для тел с одинаковым характерным линейным размером U.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [32] 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.0127