Главная Процесс переноса теплоты



3-10. регулярный режим охлаждения (нагревания) тел

Анализ полученных решений для тел различной геометрической формы показывает, что они имеют одинаковую структуру, т е. представляют собой сумму бесконечного ряда, члены которого расположены по быстро убывающим экспоненциальным функциям. Например, для безграничной пластины при охлаждении ее в среде с постоянной температурой tm и постоянным коэффициснтом теплоотдачи а на ее поверхностях получено:

В этом уравнении Л„ - постоянный коэффициент, свой для каждого члена ряда (ие зависящий ни от координат, ни от времени), ои найден из начальных условий.

Множитель cos (ц„л:/6) является функцией только координаты х и его можно обозначить С„. Экспонента будет убывать пропорционально времени т. Комплекс ц„а/6 представляет собой постоянное вещественное положительное число, которое можно обозначить т„, причем т будет изменяться в зависимости от номера индекса так же, как и ц, т. е.

mi<m2<m3< ... <m„, (3-85)

где п=1. 2, 3 ...

С учетом сказанного выражение для пластины можно представить

(3-86)

Для тел других геометрических форм температурное поле также будет описываться уравнением вида (3-86). Специфика геометрической формы учитывается различным видом множителей An и С„. Для тел одной и той же формы различным начальным распределениям температуры будут соответствовать разные совокупности чисел А-п.

При малых значениях t от т=0 до T=Ti распределение температуры внутри тела и скорость изменения во времени температуры в отдельных точках тела зависят от особенностей начального распределения температур. В этих условиях поле температур в теле будет определяться не только первым, но и последующими членами ряда (3-86).

Это первый период охлаждения, при котором скорость изменения

температуры внутри тела зависит от вида начального распределения температуры, называют неупорядоченной стадией процесса охлаждения (нагревания). Благодаря неравенству (3-85) с увеличением времени % последующие члены ряда (3-86) будут быстро убывать, т. е. ряд становится быстросходящимся.


Рис 3 20 Зависимость In # от воеме-ии при охлаждении (нагревании) тел.



Начиная с некоторого момента времени t>t.i начальные условия начинают играть второстепенную роль и процесс полностью определяется только условиями охлаждения на границе тела и среды, физическими свойствами тела и его геометрической формой и размерами. Температурное поле описывается первым членом ряда (3-86):

Ь = А,и,е-"\ (3-87)

Это соотношение показывает, что изменение избыточной температуры как в пространстве, так и во времени не зависит от начального распределения температуры. Логарифмируя последнее уравнение и опуская индексы, получаем:

1п*=1п (AU)-rm

\пЬ=-тх+С(х, у, Z). (3-88)

Из уравнения (3-88) следует, что натуральный логарифм избыточной температуры для всех точек тела изменяется во времени по линейному закону. Графическая зависимость между Inf)- и временем будет иметь вид прямой (рис. 3-20). При длительном охлаждении (т->-оо или, что то же, Fo-»-оо) все точки тела в конце концов принимают одинаковую температуру, равную <ж (наступило стационарное состояние) .

Таким образом, весь процесс охлаждения можно разделить иа три стадии.

Первая стадия (неунорядочеииого) режима характеризуется большим влиянием начального распределения температуры, и зависимость между их описывается уравнением (3-86).

Вторая стадия охлаждения называется регулярным режимом, и зависимость между и х описывается уравнением (3-87 i.

Третья стадия охлаждения соответствует стационарному режиму, когда температура во всех точках тела равна температуре окружающей среды (имеет место тепловое равновесие).

Остановимся на более подробном рассмотрении второй стадии охлаждения.

После дифференцирования обеих частей уравнения (3-88) по времени получим:

4-==~" = =°"*- (3-89)

В левой части уравнения (3-89) стоит выражение для относительной скорости изменения температуры, и оно равняется постоянной величине т, не зависящей ии от координат, ни от времени.

Величина т измеряется в 1/с и называется темпом охлаждения. При наступлении регулярного режима темп охлаждения ие зависит ни от координат, ни от времени и является величиной постоянной для всех точек тела. Темп охлаждения, как это следует из уравнения (3-89), характеризует относительную скорость изменения температуры в теле и зависит только от физических свойств тела, процесса охлаждения па его поверхности, геометрической формы и размеров тела.

Итак, регулярный режим охлаждения (нагревания) тел характеризуется тем, что изменение температурного поля во времени описывается простой экспонентой и относительная скорость охлаждения т для



всех точек тела остается величиной постоянной, не зависящей ни от координат, ни от времени.

Если экспериментально определить изменение избыточной температуры О во времени т и построить зависимость в полулогарифмических координатах, то из рис. 3-20 следует, что темп охлаждения в стадии регулярного режима найдется как In 9, -in Во

-;--=т = const.

Выражение для зависимости темпа охлаждения т от физических свойств тела, его геометрической формы и размеров, а также условий теплообмена на поверхности тела можно найти из анализа теплового баланса.

Изменение внутренней энергии тела

dQ = ~cfVdi, (3-90)

где с - удельная теплоемкость, Дж/(кг-К); V - объем тела, м; р - плотность вещества, кг/м; - средняя по объему избыточная температура, °С; X - время, с.

С другой стороны, за тот же промежуток времени вся теплота должна быть отведена с поверхности тела в окружающую среду за счет теплоотдачи

dQ=aEFdx; . (3-91)

здесь а - среднее значение коэффициента теплоотдачи; Of - средняя температура поверхности тела в данный момент времени:

Приравнивая выражения (3-90) и (3-91), находим:

di ~ cfV f

или, если разделить полученное выражение на и учесть, что cpV= = С, Дж/К - полная теплоемкость тела.

~%:iH-%-C- (3-92)

В левой части этого выражения стоит относительная скорость охлаждения т, 1/с, и если отношение обозначить через W, (3-92)

можно записать:

m = (3-93)

Из уравнения (3-93) следует, что относительная скорость охлаждения, или, иначе говоря, темп охлаждения т однородного и изотропного тела при конечном значении коэффициента теплоотдачи а пропорциональна коэффициенту теплоотдачи, поверхности тела и обратно пропорциональна его теплоемкости (первая теорема Кондратьева [Л. 76]).

В уравнении (3-93) множитель 4=0f/0„ называется коэффициентом неравномерности распределения температуры в теле и зависит от условий охлаждения на поверхности тела. Для вы-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [33] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.016