Главная Процесс переноса теплоты



и характером изменения температуры среды. С подобным из,ложением приведенного обобщенного метода можно познакомиться в указанной монографии А. В. Лыкова.

Теория регулярного режима может быть применена при решении таких практических задач, как определение времени прогрева (охлаждения) тел, определение теплофизических параметров вещества, коэффициента теплоотдачи а, коэффициента излучения о и термических сопротивлений. Достоинство метода заключается в простоте техники эксперимента, достаточной точности получаемых результатов и малой продолжительности эксперимента.

3-11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В настоящее время существует много различных приближенных методов расчета теплопроводности; которые приводят к удовлетворительным для инженерной практики результатам. Приближенные методы решения задач чаще всего применяются в случае, когда точные аналитические методы расчета затруднительны. Рассмотрим некоторые из этих методов.

а) Численный метод

Аналитические решения, полученные путем непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений, дают возможность вычислить температуру в любой точке данной системы. В противоположность этому в основу численного метода положено уравнение в форме конечных разностей, с помощью которого вычисляем температуру в некоторых, заранее выбранных точках данной системы. Это равнопеино математическим приемам приближенного интегрирования. Следует отметить, что если получение точного аналитического решения связано с трудностью удовлетворения граничных условий, которые ие всегда осуществимы, то при помощи численного метода всегда возмолшо, по крайней мере приближенно, удовлетворить граничным условиям конкретной задачи.

Из численных методов решения задач теплопроводиости в настоящее время наиболее ценным и широко используемым является метод конечных разностей.

Сущьюсть метода заключается в том, что в дифференциальном уравнении производные искомой функции заменяются приближенными соотношениями между конечными разностями в отдельных узловых точках температурного поля. В результате такой замены получаем уравнение в конечных разностях, решение которого сводится к выполнению простых алгебраических операций. Расчетное соотношение приводится к виду, где будущая температура в рассматриваемой узловой точке является функцией времени, настоящей температуры в рассматриваемой точке и настоящей температуры в соседних точках. Такие уравнения составляются для всех узловых точек рассматриваемой области, включая и граничные. В результате получаем замкнутую систему алгебраических уравнений. Ввиду однотипности вычислений при решении такой системы представляется широкая возможность для использования современной вычислительной техники.

Для получения расчетных формул при численном интегрировании в настоящее время широко пользуются методом тепловых балансов и математическими операциями при замене в дифференциальных уравнениях производных функции конечными разностями.



в качестве конкретного примера получим расчетную формулу для численного интегрирования одномерной нестационарной задачи методом тепловых балансов. Пусть в этом случае процесс теплопроводности описывается уравнением

(3-100)


Первым шагом численного метода расчета является разбиение данной системы на соответствующее количество небольших объемов и присвоение номера центральным точкам каждого из этих объемов. Предполагается, что термические свойства каждого такого объема сосредоточены в центральной узловой точке. Передача теплоты между узловыми точка.чи осуществляется через условные теплопроводящис стержни.

В нестационарном состоянии в каждой узловой точке не только происходит подвод или отвод теплоты, но и изменяется внутренняя энергия.

Изменение внутренней энергии зависит от изменения температуры в узловой точке во времени, от теплоемкости э.чементарного объема, который она представляет, и плотности вещества. Такой подход к вычислению температуры носит название метода приближенной численной итерации.

Рассмотрим применение метода к расчету температурного поля в п.чоской стенке [уравнение (3-100)]. Для знакомства с применением численного метода к другим задачам теплопроводности следует обратиться к специальной литературе [Л. 19, 31, 11), 204, 209].

Разбиваем стеику на элементарные объемы 1/=*Х6Х1=62 (рис. 3-24). Полагаем, что удельная теплоемкость с и коэффициент теплопроводности X в, пределах элементарного участка постоянны. Очевидно, количество теплоты, подводимое стержнем к узловой точке, определится по закону Фурье: q=~-%{dtldx). Если расстояние 6 достаточно мало, то можно выразить д через конечные разности, т. е. д= = - (W6)A4 где At - разность температур между смежными узловыми точками. Общее количество теплоты, проводимое стержнем за конечное приращение времени Дт, равно:

Q = 9AxF=---Ath-zF, (3-101)

где для од1юмерной системы проводящая площадь F=6X1, м.

Изменение внутренней энергии в рассматриваемой узловой точке за время Дт

UcpVAf=cpV{t-t), (3-102)

где t - температура в данной узловой точке в момент времени т; f - температура в момент времени т-ЬДт; с - удельная теплоемкость; р - плотность вещества; V-элементарный объем.

На основании сказанного уравнение теплового баланса для узловой точки / (рис. 3-24) будет иметь вид:

Рис. 3-24. Разбиение и числовая сетка для нестационарной одномерной задачи.



1ение относительно нер \ CfV }

Решая последнее уравнение относительно неизвестной температуры fi, получаем:

(3-103)

Если учесть, что klcp=a - коэффициент температуропроводности вещества, V=f и Дтс/6=Ро - число Фурье, то уравнение (3-103) принимает вид:

(3-104)

<. = Fo[(4 + t,-f/.)(-2)].

Уравнение (3-104) является основой численного метода расчета нестационарной теплопроводности. Для расчета температуры fi по (3-104) необходимо выбрать определенное значение Fo. При этом важно помнить, что выбор Fo ограничен условием

Fo«

(3-105)

Как показывает анализ, только при этом обеспечивается устойчивость уравнения (3-104). Если же принять Fo>V2, т. е. нарушить условие (3-105), то изменение температуры в процессе расчета приобретает беспорядочный скачкообразный характер и расчет перестает быть верным. Поэтому при выборе промежутков 6 и Дт необходимо заботиться о том, чтобы условие (3-105) выполнялось. Если выбрать 6 и Дт из условий Ео=/2, то уравнение (3-104) принимает вид:

f, = -. (3-106

Формула (3-106) широко используется при графическом решении нестационарных задач теплопроводности. При этом будущая температура данной узловой точки не зависит от ее настоящей.

При других значениях Fo уравнение (3-104) приводит к более сложным результатам:


Рис. 3-25. Сравнения численных расчетов с точным решением распределения температур (Fo=l/4) в плоской стеике. Липни соответствуют аналитическому решении, точки - численному расчету.

(3-107)

(3-1С8) 109



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [35] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.0129