Главная Процесс переноса теплоты



©

Из уравнений (3-106) -(3-108) следует, что уменьшение значений Fo увеличивает число вычислений и густоту сетки, однако при этом по-вышается точность вычислений. =© Для случая, когда одна из поверхностей, пластины изолирована и на ней не происходит теплообмена, а на другой коэффициент теплоот-дачи а-XXI уже при выборе Fo=V4 прибли--© женный численный метод практически ие отли-

U-41-J чается от точного расчета. Сравнение таких расчетов приведено на рис. 3-25 [Л. 204]. Пользуясь, изложенным методом, можно получить исходное уравнение для численного расчета и для других задач нестационарной теплопроводности. В частности, для двухмерной задачи после разбиения тела на элементарные объемы с размерами ячеек АхАу-б схема узловых точек будет выглядеть, как показано на рис. 3-26. Составляя уравнение теплового баланса для центральной точки, получаем:

Рис. 3-26. Сетка узловых точек для двухмерной иестацнопарнон задачи.

f„ = Fo

(3-109)

где to, ti, tz, ts, ti - температура в соответствующей узловой точке в момент времени т; fo - температура в центральной точке в момент времени т+Дт.

Для этой двухмерной задачи промежутки 6 и Дт должны выбираться из условия

Fo<-- (3-110>

аналогично условию (3-105) для одномерной задачи.

При значении Fo=V4 уравнение (3-109) принимает вид:

При этом будущая температура узловой точки не зависит от ее настоящей.

Для замены производных функции в дифференциальном уравнении разностными отношениями можно воспользоваться математическими операциями. Такой подход не является более строгим, но он дает возможность решать задачи при разнообразных краевых условиях, оценить погрешность перехода от дифференциального уравнения к уравнению в конечных разностях и более просто провести анализ условий устойчивости и сходимости решения.

Получим приближенную замену первой и второй производ-

(3-1 u>


Рис. 3-27. К выводу формул для замены первой и второй производной разностными отношениями.



ной через разностные отношения некоторой функции t=f(x), где под х можно понимать любую независимую переменную.

Прежде всего интервал изменения функции разобьем на одинаковые участки бж. Каждая точка будет иметь свою абсциссу, отличающуюся на величину 6,;, иначе говоря, координату точки Хт заменим тЬх (т=1, 2, 3, ...). Отметим на кривой t=}(x) точки А тбх), В (tm-u (m-l)SJ и C(tm+u (m+i)(,x).

Касательная в точке А (tm, тЬх) образует угол От с положительным направлением оси абсцисс, тогда производная функции для рассматриваемой точки А (tm, тбх)

Г„=tg am-

(3-П2)

Если интервал разбиения Ьх - величина малая, то с достаточным приближением угол am можно заменить углами Рт или -ут (см. рис. 3-27), образованными секущими ВА н АС. При этом производная в точке А (tm, гпЬх) запишется следующим образом:

BE t.

(3-U3)

-л%-(п

Если угловой коэффициент касательной AD заменить на угловой коэффициент секущей ВС, получим выражение для" производной в точке А следующего вида:

W.-.n-i

(3-U5)

Полученные выражения (3-113) - (3-115) равноценны для замены первой производной функции разностными отношениями и называются соответственно: предыдущее, последующее и симметричное разностные отношения.

Если заменить кривую на

(3-114)

Рис 3-28 К получению расчетной сетки н составлению уравиенин для узловых точек.

участке ВС ломаной ВАС, имеющей в точке А два наклона, получим выражение для второй производной функции i=f(x):

t„~t„.

(3-116)

Приведенные формулы (3-114) -(3-116) наиболее часто используются при численном интегрировании уравнений теплопроводности. Используем полученные формулы для преобразования дифференциального уравнения к конечно-разностной форме. Преобразование проведем на примере одномерной нестационарной задачи теплопроводности без-



граничной стенки {уравнение (3-100)]:

dt дН

Так как температура t(x, т) является функцией двух переменных, удобно выбрать пряно"угольную сетку. Весь интервал изменения д; от О до / по оси абсцисс разобьем на одинаковые интервалы б.х, а отрезок времени от т=0 до т=8 разделим на равномерные интервалы 8 (рис. 3-28). Восстановленные перпендикуляры к координатным осям в точках деления при пересечении образуют расчетные узловые точки. Тогда температура для узловой точки 1 с координатами х--=тЬх и т= = Й8 запишется так:

Для точки 2 с координатами х=т\ и 1 +St = (&-[-1)8, имеем:

«, = fjm8,,(ft-f 1)8,] = .=+.; для точки 3 с координатами х-\-Ь = {т-\-\)Ъ и т-]-8=(й-}-1) 8. получим t, = t,[(m-l)b„ l)8J=/„+,.ft+, и т. д.

Заменим в точке / (т8„ feSJ частные производные в уравнении теплопроводности разностными отношениями:

()™ ,= РГ(*"-ь-=-2».=+"->-) + - (3-48)

В этих выражениях ei и е2 - остаточные члены, учитывающие переход от производных функций к разностным отношениям. Можио показать, что эти члены стремятся к нулю при стремлении к нулю интервалов разбиения бж и 6,. Дифференциальное уравнение в конечно-разностной форме запишется следующим образом:

(U- и.)=А Г""-~>~"-"+%1 (3-119)

Решая уравнение (3-119) относительно будущей температуры tm,h+i в рассматриваемой точке, получаем;

t.Kr=-lt.,,.u + t„.,,n]-(~-l)<„,R + (ae,-e,)S,. (3-120) Очевидно, остаточный член (яе - е,)8, в уравнении (3-120) будет стремиться к нулю при стремлении к нулю 8,. Следовательно, чем более мелкие интервалы выбраны для сетки узловых точек, тем меньше ошибка перехода от дифференциального уравнения к уравнению в конечных разностях. Ошибки ei и ez можно оценить, воспользовавшись разложением функции f в ряд Тейлора.

Отбрасывая остаточный член в уравнении (3-120) и обозначая приближенное значение величины <„д через 7"„,ь, получим приближенное решение для будущей температуры в узловой точке (тЬ„ feSJ:

7m,i=+,=-(r„+,,ft-f 7„.,,к)-(- i)T™,,=. (3-121)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [36] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.0184