Главная Процесс переноса теплоты



в уравнении (3-121) комплекс (&J&"~Fo имеет смысл числа Фурье для элементарного объема расчетной области, тогда

Tra.k+1 = Fo ( Тт+гл + Trn-1.h) - (2¥o-\)Trn.P.. (3-121)

Если нам известно распределение температуры в расчетной области в какой-либо (например, начальный) момент времени, то, пользуясь системой уравнений полученного типа, можно рассчитать телше-ратуру в узловых точках для последующего момента времени x-fS, . Температура в узловых точках, находящихся на границах области интегрирования, известна из граничных условий.

Из уравнения (3-121) следует, что значения расчетных температур зависят от числа Fo, т. е. от способа разбиения пространственно-временной области. Выбирая интервалы разбиения 6 и 6, мы молем получить любое значение числа Fo. Однако, как показывает аналпз, решение устойчиво не при любом значении Fo, а следовательно, выбор величин 6х и 8 не произволен. Анализ отклонения числового расчета

от точного решения показывает, что устойчивость расчета для рассматриваемой одномерной задачи обеспечивается только при том условии, когда в уравнении (3-120)

(2Fo-1X0. (3-122)

Выражение (3-122) является основным условием, которое ограничивает произвольный выбор интервалов сетки 6х и 6. Точпо такое же

условие обеспечения устойчивости численного интегрирования было получено методом тепловых балансов (выражение (3-105)).

Нетрудно получить конечно-разностное выражение и для двухмерной нестационарной задачи теплопроводности t(x, у, т). Дифференциальное уравнение для такой задачи имеет вид:

в этом случае температуре для любой узловой точки должно при-сзаиваться три индекса tm,-n, где т, п -индексы координат, ft -индекс времени. Разобьем область интегрирования на одинаковые интервалы. Тогда, пользуясь ранее полученными соотношениями, для узловой точки с координатами (тб, п6„, feS) получим:

(3-123)

Подставляя полученные выражения для производных (без остаточных членов El, Е2, 8з) В дифферсициальное уравнение (а), получаем приближенное выражение для будущей температуры в точке {infix, пЬу, kS):

в 87 113



Полагая 6jc=6„ и решая (3-124) относительно будущей температуры в рассматриваемой узловой точке, получаем:

Обозначая, как и в предыдущем случае, (&j6:c=Fo, выражение (3-124) приводим к виду

(3-124")

Нетрудно видеть, что для такой двухмерной задачи решение будет устойчивым только при условии

(4Fo-1X0. (3-125)

Если принять число Fo = l/4, то уравнение (3-124) примет вид:

Отсюда видно, что будущая температура в рассматриваемой точке не зависит от настоящей в этой точке и определяется настоящими температурами соседних точек.

Аналогичные расчетные соотношения для вычисления температур в узловых точках можно получить и для трехмерной задачи.

б) Принцип стабильности теплового потока

Существует ряд приближенных решений задачи о распространении теплоты в телах произвольной формы. Рассмотрим метод, базирующийся на принципе стабильности теплового потока. Если на поверхности твердого тела оставить тепловой поток постоянным, но изменить условия охлаждения на небольшом участке поверхности, то это вызовет существенное местное изменение температурного поля. Однако в точках, достаточно удаленных от места возмущения, изменение температурного поля будет ничтожным [Л. 22].

Из сказанного следует, что деформация поверхности тела будет оказывать существенное влияние на температурное поле только в точках, близких к поверхности, а в удаленных от поверхности точках характер температурного поля будет оставаться неизменным.

Используя эти свойства стабильности теплового потока, расчет теплопроводности в телах сложной геометрической конфигурации можно свести к расчету процесса нагрева (охлаждения) тел трех классических форм: одномерной плоской пластины - тело первого класса, длинного круглого цилиндра - тело второго класса н шара - тело третьего класса. При решении задачи прежде всего необходимо рациональным образом определить класс, к которому надо отнести рассматриваемое тело. Затем произвести сравнение температурного поля с температурным полем основного тела этого класса.

Согласно принципу стабильности должно выполняться условие

а (tc~tm) Fdx=ao («со-жо) Fo dxo, (3-127)

где а - среднее по поверхности значение коэффициента теплоотдачи, Вт/(м-К); и - средняя температура поверхности тела, "С; /ж - температура окружающей среды, "С; F - поверхность охлаждения, м; т - время, с.



Величина без индекса «О» относится к рассматриваемому телу, а с индексом «О» - к основному телу соответствующего класса. При соблюдении условий (3-127) расчет температурного поля рассматриваемого тела можно свести к pac4eiy температурного поля эквивалентного основного тела соответствующего класса (пластины, цилиндра, или шара). Последнее предполагает, что внешняя конфигурация тела будет существенно влиять на температурное поле только в точках, близких к поверхности. Температурные поля вдали от поверхности становятся сопоставимыми с температурными полями в основных телах соответствующего класса.

Если в уравнении (3-127) обозначить:

te-*m = i&; tco-ikO = i&o

И при ЭТОМ принять

О&о и dT=dTo, то уравнение (3-127) принимает вид:

£[,=£[-=оЛ, (3-128)

Л=-А (3-129)

Безразмерный множитель А характеризует размер поверхности рассматриваемого тела, выраженный через поверхность основного тела. Величину А называют критерием формы.

Уравнение (3-128) выражает количественные требования, которые необходимо выполнить для обеспечения эквивалентности температурных полей обоих тел.

При расчете температурных полей в формулы для основных тел вместо с подставляется величина ао, вычисленная по уравнению (3-128), и в качестве определяющего линейного размера 1о берется эквивалентный размер для тела соответствующего класса. При этом число Bi имеет вид:

B!==?S?8-. (3-130)

л л

Для тел первого класса:

определяющий эквивалентный линейный размер

/о=. = . (3-131)

где V - объем тела, м; Fcp - площадь средней плоскости тела, м; критерий формы

Л=Л, = -. (3-132)

где F - площадь одной боковой поверхности стенки, м. Для тел второго класса:

определяющий эквивалентный линейный размер

1,=х,= у. (3-133)

где Рсеч - площадь поперечного сечения тела;

8. 115



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [37] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.0565