Главная Процесс переноса теплоты



fiiv о = Eft; I I e?z

Согласно уравнению (4-2) проекции плотности теплового потока q на координатные оси Ох, Оу и Ог равны:

==~+Р°" Яу = -г.-+?у1 и дг = - 1-\г9Ш- (4-8)

Подставляя значений q, qy я qz в уравнение (1-25), можно получить:

Для несжимаемых жидкостей p=const (см. уравнение (4-20)] Тогда

di di . Й1 , аг г f dH . а , ачл , ,. „, -а+« аЗГ+"!а7+=т(йЗ?++-55г;+Т

или, если г = СрйГ,

аг I а< , аг 1 dt г dH , ач , ач \ , ,<

Последнее уравнение, как и уравнение (4-9), является искомым уравнением энергии, описывающим распределение температур внутри движущейся жидкости.

Многочлен, стоящий в левой части уравнения (4-10), представляет собой полную производную от температуры по времени. Действительно, если t=t{x, X, у, z), то на основании понятия о полной производной имеем:

т dt , dt dx I dt dy , dt dz dz - dx dx dz "dy A dz Л

dx dy dz dz * dz dz

имеют смысл составляющих скорости w, Wy и Wz.

Здесь dtjdi характеризует изменение температуры во времени в какой-либо точке жидкости, т. е. является локальным изменением t; член

dt , dt , dt

характеризует изменение температуры при переходе от точки к точке, т. е. является конвективным изменением t. Применяя обозиачеиие

d4 I дЧ , dH dx dyT dz -V.

е. 131



уравнение энергии можио записать в Форме

(4-10)

Если Wx=Wy=Wt=0, уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности.

При стационарных процессах конвективного теплообмена dtldr=0. Уравнение (4-10) еше более упрощается, если температура изменяется только по одной или двум координатам. В случае стационарного одномерного температурного поля все производные

по X, у и Z равны нулю. Как сл1


Рис. 4-4. К вьшоду дифференциального уравнения движения жидкости

ледует из уравнения (4-10), температурное поле в движущейся жидкости зависит от составляющих скорости Wx, Wy и Wz. Чтобы сделать систему уравнений замкнутой, необходимо добавить уравпепия, которые бы описывали изменение скорости во времени и пространстве. Такими уравнениями являются дифференциальные уравнения движения.

Уравнения движения. Вывод дифференциального уравнения движения вязкой жидкости требует громоздких математических выкладок. В связи с этим будет дан упрощенный вывод этого уравнения для случая одномерного течения несжимаемой жидкости [Л. 124]. Этот вывод не является строгим, его основное достоинство заключается в наглядности. Для трехмерного движения уравнение будет приведено без вывода. Уравнения движения подробно рассматриваются в курсах гидродинамики и монографиях по теплопередаче, например в [Л. 202].

Выделим в потоке вязкой жидкости элементарный объем с размерами ребер dx, dy и dz (рис. 4-4). Скорость в потоке изменяется только в направлении оси у, закон изменения скорости произволен.

Вывод уравнения движения основан на втором закона Ньютона: сила равна массе, умноженной на ускорение.

Силы, действующие на рассматриваемый элемент жидкости, можно разделить на массовые (или объемные) и поверхностные. Массовые

силы характеризуют вектором F, мс, значение которого равно отношению силы, действующей на данную частицу, к массе этой частицы.

Если учитывается только сила тяжести, то F=g, где g - ускорение свободного падения. Мы в дальнейшем будем учитывать только силу тяжести. Значение поверхностных сил равно отношению силы, действующей на элемент поверхности, к величине площади этого элемента. К поверхностным силам относятся силы трения и силы давления

Таким образом, на рассматриваемый элемент жидкости действуют три силы: Сила тяжести, равнодействующая сил давления и равнадей-ствующая сил трения.

Найдем проекции этих сил на ось Ох.

Силы тяжести dft приложена в центре тяжести элемента. Ее проекция на ось Ох равна произведению проекции ускорения свободного падения gx на массу элемента:

dfi=pgxdv.



Равнодействующая сила давления dfi определяется следующим образом. Если на верхней грани элемента давление жидкости равно р, то на площадку dydz действует сила р dy dz.

На нижней грани давление с точностью до второго члена разложения в ряд Тейлора равно р-\- dx, и на эту грань действует сила

- Нх" *} dydz. Здесь знак минус указывает на то, что эта сила действует против направления движения жидкости. Равнодействующая сил давления равна их алгебраической сумме:

dh-£dv.

Равнодействующая сил трения dfs определяется из следующих соображений. Так как скорость изменяется только в направлении оси Оу, то сила трения возникает на боковых гранях элемента жидкости (рис. 4-4). Около левой грани скорость движения частиц жидкости меньще, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении у сила трения направлена против движения и равна sdxdz. Около правой грани, наоборот, скорость движения частиц жидкости больше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении y + dy сила трения направлена Б сторону движения. Равнодействующая этих сил равна алгебраической сумме:

dh={s+dyyxdz-sdxdz=dv.

Подставляя s = fi{dwjdy), получаем

dhdv.

Суммируя dfi, dfz и dfs, получаем проекцию на ось Ох равнодействующей всех сил, приложенных к объему:

rf/=(pg.-+,.)d.. (а)

Согласно второму закону механики эта равнодействующая равна произведению массы элемента иа его ускорение dw/dr и учитывает силы инерции:

Приравнивая правые части уравнений (а) и (б) и производя сокращения, окончательно имеем уравнение движения вдоль оси Ох:

dw dp I dw„

Описание движения жидкости усложняется, если скорость изменяется по трем направлениям. В общем случае трехмерного движения несжимаемой жидкости с постоянными физическими параметрами скоростное поле описывается тремя уравнениями движения, каждое соот-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [43] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.0127