Главная Процесс переноса теплоты



Дифференциальные уравнения отражают наиболее общие черты явлений и не учитывают частные, количественные особенности. Такими особенностями являются форма и размеры системы, в которой протекает физический процесс; к частным особенностям относятся также физические свойства рабочих тел, участвующих в процессе, условия протекания процесса на границах системы и др. Частные особенности различных явлений одного и того же класса определяются с помощью условий однозначности.

Проведенный анализ системы безразмерных дифференциальных уравнений и условий однозначности делает более понятными обшие условия подобия физических процессов, сформулированные ниже в виде трех правил;

1. Подобные процессы должны быть качественно одинаковыми, т. е. они должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одинаковыми по форме записи дифференциальными уравнениями.

2. Условия однозначности подобных процессов должны быть одинаковыми во всем, кроме числовых значений размерных постоянных, содержащихся в этих условиях.

3. Одноименные определяющие безразмерные переменные подобных процессов должны иметь одинаковое числовое значение.

Сформулированные условия являются определением подобия физических процессов.

Первое условие говорит, что подобные процессы должны относиться к одному и тому же классу физических явлений. Помимо одинаковой физической природы подобные процессы должны характеризоваться одинаковыми по записи дифференциальными уравнениями.

Во многих задачах конвективного теплообмена при вынужденном движении можно пренебречь силами тяжести. Очевидно, равенство сил тяжести нулю меняет механизм и математическуто запись рассматриваемого процесса. При рассмотрении свободного движения в большом объеме можно пренебречь градиентом давления в жидкости. Исключение градиента давления из уравнения движения приводит к иной записи уравнения, меняется класс рассматриваемого явления.

Таким образом, подобные процессы должны быть процессами конвективного теплообмена, характеризующимися одинаковой природой, одинаковыми действующими силами. Отдельные разновидности процессов конвективного теплообмена могут описываться различными дифференциальными уравнениями (хотя бы они и были частными случаями более общих уравнений), и в этом случае они будут принадлежать к различным классам явлений.

Изменение исходных дифференциальных уравнений в оВщем случае приводит к изменению системы безразмерных переменных, существенных для изучаемого процесса.

Второе условие подобия требует, чтобы условия однозначности подобных процессов были одинаковыми во всем, кроме числовых значений постоянных, содержащихся в этих условиях.

Таким образом, запись размерных условий однозначности подобных процессов в общем виде (буквенном) должна быть идентична. При этом конкретные значения скорости набегающего потока Юо, температура

В частном случае равенства числовых значений размерных постоянных, содержащихся в условиях однозначности, имеем тождественные процессы (если выполняются прочие условия подобия).



стенки tc и т. д. могут иметь различные числовые значения. Из сравнения граничных условий (а) и (г) (см. § 5-2) видно, что несмотря па различные значения Шо, о, tc и др., безразмерные граничные условия будут одинаковыми для всех этих процессов.

Из первого и второго условий подобия следует, что подобные процессы должны описываться одинаковыми (тождественными) безразмерными дифференциальными уравнениями и безразмерными граничными условиями.

В безразмерной форме математическая формулировка рассматриваемых подобных процессов одна и та же. Следовательно, рассматриваемые подобные процессы описываются единой формулой, например

Nu=i(A:c, Re, Pr)

е=/2(, Y, Re, Pr) и т. д.;

функция 1 будет одна и та же для всех подобных процессов. То же самое можно оказать и о функции /2 и т. д. Если система безразмерных уравнений и граничных условий достаточно сложна, то при нахождении функций /1 и /2 могут встретиться значительные математические трудности. Однако можно утверждать, что эти функции существуют.

При соблюдении первых двух условий подобия исследуемые процессы будут зависеть от одних и тех же безразмерных переменных. Этот вывод неизбежно вытекает пз того, что подобные процессы оцисыва-ются тождествеипыми безразмерными уравнениями и граничными условиями.

Первых двух условий недостаточно для установления физического подобия. Нужно добавить условие, что одноименные определяющие безразмерные переменные подобных процессов должны иметь одинаковое числовое значение 2, т. е.

/i = idern, y=idem, Re = idem, Pr = idem, Gr=idem и т. п.

Так как подобные процессы характеризуются одинаковыми функциями /2 и т. д. и численно равными определяющими переменными, то определяемые одноименные переменные подобных процессов также будут иметь одинаковые значения, т. е.

Nu = idem, 0 = idem, WxiAem, U7=idem и т. д.

Предположим, что рассматривается система размерных дифференциальных уравнений совместно с размерными граничными условия.ми. Решение уравнений дало бы определенную фор.мулу. Для примера можно взять решения задач теплопроводности, рассмотренные ранее. Подстановка конкретных числовых значений аргументов Я, 6 и в формулу q= {X/b)tS.t дала бы определенное числовое значение зависимой переменной q. Очевидно, при одних и тех же значениях к, б и Д все процессы теплопроводности, описываемые этой формулой, будут тождественны - это будет один и тот же процесс.

Иное дело, когда формула представлена в безразмерных переменных. Неизменность каждой в отдельности из определяющих величин X, Y, Ре, Рг и Gr, например, в уравнении &=f{X, У, Re, Рг, Gr) .дает одно и то же значение безразмерной температуры ©=(<-to)/(tc-0), однако

Предполагается, что задача сформулирована точно. " idem - тот же самый.



размерные значения температур жидкости и стенки могут быть различны. Одинаковым значениям будет соответствовать множество различных но своим размерным температурным параметрам физических процессов. Только в частном случае может иметь место тождество процессов.

Три условия подобия составляют содержание теоремы Кирпичева- Гухмана (1931 г.).

Как следует из изложенного, помимо выполнения первых двух условий подобия для подобия нужно еще, чтобы одноименные определяющие безразмерные переменные были численно равны. При этом для подобия процессов в целом достаточно, чтобы были численно равны одноименные определяющие переменные, составленные из постоянных величин, заданных в условиях однозначности. Например, подобие двух процессов теплообмена при течении жидкости в трубах будет иметь место, если будут выполнены первые два условия подобия и будут численно равны одноименные определяющие переменные, составленные только из заданных параметров математического описания процесса (постоянных). Процессы в целом будут подобны. В то же время локальные (точечные) значения искомых переменных необходимо рассматривать в точках, характеризующихся равенством одноименных безразмерных координат /n Таким образом, критериями подобия по существу являются

определяющие безразмерные переменные, составленные из постоянных

величин не являющихся функцией независимых переменных).

Как следует из изложенного в этой главе, теорию подобия можно

рассматривать как учение о характерных для каждого процесса обобщенных безразмерных переменных. Замена размерных переменных обобщенными является основной чертой теории подобия.

Мы рассмотрели условия подобия физических процессов на примере конвективного теплообмена несжимаемой жидкости в приближениз пограничного слоя. Очевидно, условия подобия справедливы не только для рассмотренного частного процесса, но и для других процессов.

Безразмерные переменные можио получить для любого физического явления. Для этого необходимо иметь полное математическое описание рассматриваемого процесса. Знание математического описания является необходимой предпосылкой теории подобия.

Сформулированные ранее условия подобия можно использовать для установления аналогии двух физических разнородных процессов. Для этого в первом условии подобия необходимо потребовать только формальной тождественности дифференциальных уравнений. Таким образом, понятие подобия можно распространить на физически неоднородные (аналогичные) процессы.

5-5. СЛЕДСТВИЯ ИЗ УСЛОВИЙ ПОДОБИЯ

Пусть имеются два подобных процесса конвективного теплообмена, например, при течении жидкости в каналах произвольного поперечного сечения. Обозначим один процесс буквой А, другой - буквой Б.

Масштабами линейных размеров выберем какой-либо размер каналов, например, их высоты Лд и h. Тогда

"д t-h

в случае нестационарных процессов должно иметь место и равенство безразмерных времен, например равенство чисел Фурье



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [52] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.012