Главная Процесс переноса теплоты



Будем рассматривать процессы А и £ в точках, характеризующихся равенствами:

А=Б. Уа = Ув и 2=2. (5-25)

Точки, удовлетворяющие этим равенствам, называются сходственны :vi и.

Для сходственных точек справедливы следующие соотношения: здесь С( = Ад/ftp.

Если равенства (5-25) вып. лняются для дв>х подобных процессов, то, очевидно, для сходственных точек должны выполняться и равенства

где шоА и teijg-значения скорости, заданные условиями однозначности; это может быть, например, скорость иа входе соответственно в каналы А и Б. Из последнего равенства следует, что

=?l = cJ=const.

хв "ОБ

т. е. в любых сходственных точках подобных процессов отношение скоростей есть величина постоянная. Аналогично можно написать:

«А с Од

-=:г f=c = -= const, t7=- = c. = const и т. д.

Таким образом, если процессы А и Б подобны, то любая физическая величина ф в данной точке процесса А пропорциональна соответствующей величине в сходственной точке процесса Б, т. е.

9a=Vb- (5-26)

Коэффициенты пропорциональности с, называют константами подобия. Они безразмерны; в общем случае не равны единице, не зависят ни от координат, ни от времени и различны для всех величин, имеющих различный физический смысл. Если все константы цодобия равны единице, то процессы являются тождественными.

Предположим, что подобным процессам А и Б подобен также процесс В. Тогда можно записать:

причем и с, в общем случае ие равны.

Таким образом, подобные процессы можно рассматривать как один и тот же процесс, но взятый в различном масштабе, причем масштабы разноименных величин могут быть неодинаковыми.

Выбор констант подобия ие может быть произведен произвольно. Покажем это на примере.

Si-87 161



Для двух подобных процессов А и Б вынужденной конвекции справедливо условие Re = Reg, где

И Reg =

«"ОБ ОВ

Одноименные величины, входящие в Re и Re, связаны между собой с помощью констант подобия:

Подставив эти равенства в Re, получим:

Это и есть условие, ограничивающее произвольный выбор констант Сю, ci и с .

Аналогично

PfA v , Nu с„с, 5-6. МЕТОД РАЗМЕРНОСТЕЙ

Необходимой предпосылкой теории подобия является математическое описание изучаемого процесса в виде дифференциальных (или ин-тегродифференциальных) уравнений и условий однозначности.

Из математической формулировки задачи следует перечень существенных для рассматриваемого процесса физических величин. Если перечень установлен, то выявление чисел подобия может быть произведено методом анализа размерностей.

Иногда список размерных величин устанавливают интуитивно, без строгой формулировки краевой задачи. В этом случае возможны ошибки.

Подробно теория размерностей рассматривается в специальной литературе, например в 1Л. 15, 33, 159]. Мы ограничимся рассмотрением некоторых выводов, следующих из анализа размерностей и имеющих интерес для практического использования обобщенных переменных.

Можно различать два вида физических величин: первичные (основные) и вторичные (производные).

Первичные величины характеризуют какое-либо физическое явление непосредственно, без связи с другими величинами. Вторичными являются величины, которые выражаются через первичные согласно определениям или физическим законам. Так, например, если длина и время являются первичными величинами, т. е. если длину нельзя выразить через время (и наоборот), то скорость, представляющая собой по определению отношение длины ко времени, является вторичной, производной величиной.

Выбор первичных величин, вообще говоря, произволен. В системе СИ за первичные выбраны длина (i), масса (Л1), время (Т), темпера-



тура (в), сила тока (/), сила света (/); здесь L, М, Т, в, I и J - символы соответствующих первичных величин. Известны и другие системы первичных величин, используемых или предложенных к использованию. Например, Гауссом было предложено использовать в качестве первичных величин длину, массу и время; остальные мыслимые величины должны быть производными. При выборе первичных величин большое значение имеет вопрос об удобстве их применения.

Символическое выражение производной величины через основные (первичные) называется размерностью. О размерности можно говорить только применительно к определенной системе первичных величин. Размерность можно представить в виде степенной формулы. Применительно к системе СИ формула размерности имеет вид:

[<р] = 1."Л1"Гв"Г/", (5-27)

где [ф] - производная единица измерения; щ - действительные числа. Размерность вторичной величины относительно данной первичной t может быть охарактеризована значением показателя степени щ при этой первичной величине. Поэтому безразмерные числа часто называют величинами с нулевой размерностью, так как для них все показатели степени в формуле размерности (5-27) равны нулю. Согласно формуле (5-27) размерность первичной величины можно принять равной единице (берется относительно себя).

Помимо размерности физические величины характеризуются числовыми значениями. Числовые значения первичных величин получают путем прямого измерения, т. е. путем сопоставления измеряемой величины с некоторой величиной той же физической природы, выбранной в качестве стандарта и называемой единицей измерения. Выбор единиц измерения первичных величин (основных единиц измерения) произволен и определяется вопросами удобства их использования.

Числовое значение вторичной величины определяется косвенным путем, его находят по числовым значениям первичных величин. От выбора единиц измерения первичных величин зависят численные значения как первичных, так и вторичных величин. От выбора основных единиц измерения ие зависят только численные значения безразмерных величин (величин с нулевой размерностью).

Выбор перечня первичных величин и их единиц измерения является необходимым и основным шагом на пути создания системы единиц измерения.

Рассмотрим пример использования метода размерностей. Определим безразмерные переменные, соответствующие математической формулировке задачи, приведенной в § 5-1. Из этой задачи следует, что

«=/(х, у, Ас, 1о, Wo, V, а, Р). (а)

В списке величин, существенных для рассматриваемого процесса, представлено девять переменных (п=9). В рассматриваемом нами примере использованы три первичные величины системы единиц измерения СИ: длина, время, температура (А=3).

Пользуясь возможностью произвольного выбора основных единиц измерения, разделим переменные, входящие в уравнение (а), на две группы; на величины с независимой размерностью (основные) и на величины с зависимой размерностью (производные). Мы как бы создаем новую систему единиц измерения (специально для рассматриваемой зэ-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [53] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


0.0127