Главная Магнитный поток и электрический контур



вычисление по неизбежно сложным формулам требует значительного времени. Напротив, величины F (к) определяются только двумя параметрами - сторонами прямоугольника или даже одним - отношением этих сторон и потому могут быть относительно просто вычислены или найдены из таблиц, составление которых при одном или двух параметрах не представляет особых затруднений. В силу сказанного возможность свести вычисление величин F {к X i) к вычислению нескольких величин F (к) во многих случаях существенно уменьшает Бремя, необходимое для выполнения расчетов.

Рассмотрим теперь какую-нибудь плоскую фигуру (Л), ограниченную ломаной линией со взаимно перпендикулярными сторонами (рис. 1-31). Такая фигура всегда может быть представлена в виде совокупности нескольких прямоугольников (например, прямоугольников /, 2 и 3 на рис. 1-31). Двойной интеграл

- -1 ....


Рис. 1-31

(Л) = IJcpdsds", (1-60)

взятый дважды по площади s этой фигуры, может быть представлен в виде суммы

P{A)F {к)Ъ ЪР{Х1), 1фк, (1-61)

члены которой - или величины вида F (к), или же могут быть выражены через величины такого вида по формулам (1-50) - (1-58).

Точно так же, рассматривая две лежащие в одной плоскости фигуры Л и В со взаимно перпендикулярными сторонами (рис. 1-31) и разбивая каждую из них на отдельные прямоугольники /, 2, п и (п + 1), (п +2), (/г + т), можно интеграл вида

(1-62) (1-63)

F(AxB)=\ I Ф ds ds"-

представить как сумму

п п+т

F{AxB)=Ti 11 F{kx i),

k=i i=n+l



каждый член которой также выражается через величины •вида F (к).

Таким образом, не только для прямоугольников, но и для любых лежащих в одной плоскости фигур со взаимно перпендикулярными сторонами вычисление интегралов вида (1-60) или (1-62) может быть сведено к вычислению величин вида F (к). В этом и заключается метод, основанный на применении теоремы о четырех прямоугольниках.

Необходимо, однако, иметь в виду, что вычисление величин F {к X i) по формулам (1-50) - (1-58) становится весьма неудобным или даже совсем неприемлемым, когда расстояние между прямоугольниками значительно превосходит их линейные размеры. В этом случае отдельные члены, через которые выражается величина F (k X i), во много раз больше результата их суммирования, так что расчет необходимо вести со степенью точности, значительно превышающей степень точности, требуемую от результата. В связи с этим возникает необходимость в достаточно точных значениях величин F (k), и весь расчет становится весьма гро-, моздким. В указанных случаях вычисление величин F (kxi) удобнее вести по методу, изложенному в следующем пара-, графе.

1-11. ВЫЧИСЛЕНИЕ «ВЗАИМНЫХ» ВЕЛИЧИН

ДЛЯ ДВУХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ МЕТОДОМ РЯДА ТЕЙЛОРА

Как было указано в предыдущем параграфе, расчет индуктивностей во многих случаях требует вычисления интегралов вида (1-48), распространенных по площадям двух лежащих в одной плоскости прямоугольников с параллельными сторонами. Если функция ф, входящая в (1-48), в пределах площади каждого из прямоугольников изменяется незначительно, то в первом, грубом, приближении можно считать ее постоянной, и тогда F {к X i) = ShSjCpb,-, где ф - значение функции ф для центров обоих прямоугольников. Для более точного определения F (к X i) можно пользсьаться методом, основанным на разложении функции ф в ряд Тейлора. Этот метод применительно к рассматриваемому случаю (рис. 1-32) приводит к следующей общей формуле!

F(fex0-16 Т Т" (1-64)

-xk l-ljh -xi l-yt

Где 2A, 2В, 2а, 2b - стороны прямоугольников; Dx = д/дх а Dy = д/ду - символы дифференцирования по координа-




Рис. 1-32

там X и у, причем и Dy снабжены индексами k и t, чтобы отличать дифференцирование по координатам точек /г-го прямоугольника от дифференцирования по координатам точек t-ro прямоугольника. Индекс ki у ф показывает, что производные должны быть взяты в центре Ой одного и в центре Ol другого прямоугольника.

Разложив гиперболические синусы, входящие в формулу (1-64), в ряды по степеням их аргументов и перемножив эти ряды, получим /

F (ft X i) = SftSi

"Г" R

3Dt, + 10W,,D2. + 3«*D:

+ ... фйг, (1-65)

где степени вида Dx и D следует понимать как символы /7-кратного дифференцирования по соответствующим координатам. Формула (1-65) сводит задачу вычисления F (kxi) к определению частных производных от ф по х и у.

Если производные по координатам х и равны соответствующим производным по координатам Xi и yi или отли-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [11] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160


0.0116