Главная Магнитный поток и электрический контур



чаются от них только знаком, как, например, если ф есть функция только от расстояния г между двумя точками одного и другого прямоугольника, то формула (1-65) существенно упрощается:

F (/? X t) = SuSiY 1 -\--- D.v -\--f-Dy -f

+-36---360-• +

--360- + J 0-66)

Формула (1-65) лишена отмеченного в предыдущем параграфе недостатка метода, основанного на теореме о четырех прямоугольниках. Эта формула не содержит разностей близких величин, и для прямоугольников, удаленных на значительное расстояние друг от друга, второй, третий и последующие члены в формуле (1-65) значительно меньше первого члена, а потому могут быть вычислены со степенью точности, даже меньшей, чем требуемая от результата.

Формула (1-65) удобна. Однако, лишь в тех случаях, когда расстояние между центрами прямоугольников не слишком мало по сравнению с их размерами, так как в противном случае ряд (1-65) сходится медленно и для обеспечения достаточной точности расчета потребовалось бы сохранение большого числа членов этого ряда.

Область, в которой применение формулы (1-65) является целесообразным, зависит от вида функции ф и легко устанавливается в каждом конкретном случае. При малых расстояниях между прямоугольниками становится возможным применение метода, изложенного в § 1-10, и, следовательно, оба метода взаимно дополняют друг друга.

Проиллюстрируем формулу (1-66), применив ее к определению среднего геометрического расстояния g,- площадей прямоугольников /е и i друг от друга. По определению (§ 1-8) имеем

SfcSj)nghi== ]nrdshdSi, (1-67)

где г - расстояние между точками одного и другого прямоугольника. Следовательно, в рассматриваемом случае следует положить ф = 1п г, и тогда F {kX О = Sf,Si In ghi-

Так как функция ф = In / удовлетворяет уравнению



то нетрудно показать, что

Поэтому в данном случае достаточно определить только производные от ф по X. Дифференцируя In г несколько раз по х, находим

Где R - расстояние между центрами прямоугольников; и = X/R = cos G (рис. 1-32). Подставив значения производных в формулу (1-66) и ограничившись членами с производными не выше четвертого порядка, получим

(ЗА* + ЮАа + ЗсО + (ЗВ* + Ш-Ь + ЗМ) - 10 (Л + а) (В + Ь)

60R

X (1 - 8м2-Ь 8««), (1-68)

Где 2А, 2В, 2а, 2Ь- стороны прямоугольников.

1-12. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ИНДУКТИВНОСТЕЙ

Выше уже было отмечено, что лишь в- простейших случаях удается выполнить в общем виде интегрирование тех основных выражений для индуктивностей, которые были приведены в § 1-2 и 1-3. Поэтому иногда приходится, отказавшись от получения общего буквенного выражения, ограничиться численным расчетом искомой индуктивности для заданных размеров контура, или провода.

Обычно в подобных случаях расчет заключается в применении методов численного интегрирования, причем исходные выражения предварительно видоизменяют и упрощают таким образом, чтобы они требовали лишь однократного или, в крайнем случае, двукратного численного интегрирования. Само интегрирование выполняют или аналитически - с помощью формул механических квадратур (см. приложение 3), или графоаналитически, построив кривую подынтегральной функции и определив графически площадь этой кривой между соответствующими ординатами.

Приводимый, ниже пример иллюстрирует применение метода численного интегрирования к расчету взаимной индуктивности двух линейных проводов, причем для возможности оценки результата рассмотрен случай, допускающий решение в конечном виде.



Пример 1-1. Определить взаимную индуктивность криволинейного провода, изогнутого по полуокружности, и прямолинейного провода, совпадающего с диаметром этой полуокружности (рис. 1-33, а).

Точное решение этой задачи может быть получено с помощью формулы (2-119), если положить в ней Р= я/2 и удвоить найденный результат (взаимная индуктивность полуокружности и диаметра вдвое больше взаимной

индуктивности полуокружности и радиуса). Тогда получим М = R.


±1


Рис. 1-33

Для определения М методом численного интегрирования воспользуемся обозначениями рис. 1-33 и представим общее выражение (1-20) в виде

An J

-R о

D 4n

F{x)dx,

(1-69)

где и

(1-70)

причем

i{x, 6):

D •

(1-71)

Вычислим значения / {x, G) для всех значений x от -R до -fi? через 0,2/? и для всех значений 6 от О до п через я/18. Сведем результаты вычис-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [12] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160


0.0611