Главная Магнитный поток и электрический контур



е = .1/2+ dl-= -R dQ;

f (G) = / (X, ij) = Arsh- + Arsh - = У у

= - Arsh (ctg G) + Arsh ctg .

(1-76)

Вычислив значения F (G) sin G для всех значений G от О до 180° через 15° (табл. 1-3) и применив параболическую формулу, найдем

+ [4 (0,181 -Ь ... -I- 0.558) - (О -I- 0)] = 5-.22.8 = 0.9955, *2

у ,


Рис. 1-35

что в пределах точности расчета на логарифмической линейке совпадает с точным ответом

Перейдем теперь ко второму из упомянутых случаев. Рассмотрим круговой контур / радиуса R и провод 2 произвольной формы (рис, 1-35). Выберем прямоугольную систему координат с началом в центре О кругового контура и с осью г, перпендикулярной к его плоскости. Рассмотрим элемент длины dl" = dl провода 2, расположенный в точке Р {х, у, г). Разложим dl на составляющие: dz по оси г, dp по прямой QP, перпендикулярной к оси г, и dk по дуге окружности К, проходящей через точку Р и имеющей центром точку Q. Очевидно, что взаимная индуктивность элемента dz и контура / равна нулю в силу того, что dz пер-

* Значения F (6) при G = О я F (G) sin в при G = 180° найдены путем раскрытия получающихся неопределенностей,



пендикулярен к плоскости этого контура, а взаимная индуктивность элемента dp и контура 1 равна нулю вследствие симметрии контура относительно направления dp. Следовательно, взаимная индуктивность йМ элемента dl и контура 1 равна взаимной индуктивности dM элемента dX и этого контура. С другой стороны, вследствие коаксиаль-ности окружности Х и контура 1 и вытекающей отсюда симметрии можно написать

где Mj - взаимная индуктивность контуров X и 1. . Из рис. 1-35 непосредственно видно, что

dX = dy cos ф - dx sin ф = (cos p cos ф - cos a sin ф) dl,

(1-78)

где cos a и cos p - направляющие косинусы элемента dl по осям X и у, а fp = arctg--. Поэтому

d=dM, = Af,-5ii5ig2LEld/ (1-79) и, следовательно.

Взаимная индуктивность двух коаксиальных круговых контуров может быть определена по общим формулам, таблицам и кривым § 5-7, 5-8, и, следовательно, определение взаимной индуктивности провода произвольной формы и кругового контура может быть сведено к задаче однократного численного интегрирования (см. пример 1-3).

Пример 1-3. Определить взаимную индуктивность двух лежащих в одной плоскости контуров: кругового контура радиуса R= 1 ы и квадратного контура со стороной 2а = 1 м (рис. 1-36).

В силу симметрии имеем М = 8 Жг, где Mi2 - взаимная индуктивность контура / и провода АВ. Из рис. 1-36 видно, что в данном случае

у=а; cosa = -1; cos6 = 0; ф = arctg-; Бтф = --г==;

V +

dk = -sin (Сdx =--" ; p-la+x и, следовательно, ,

Уа + х

M,,dx

-t- х



Таблица 1-4. Значения MjlP

м»

Р. м

мкГн

мкГн/м

0.25

0,500

0,546

2.19

0,26

0,510

0,572

2,20

0.29

0,538

0,647

2,23

0,34

0,583

0,778

2,29 .

0,41

0,640

0.981

2,40

0,50

0,707

1.275

2,55

Для выполнения интегрирования составляем табл. 1-4, причем значения М) для каждого значения р берем из табл. 5-5.

Имея значения подынтегральной функции и применяя формулу трапеций, находим

Ж=0,1

+ 2,23-1-2,29-f 2.40

(2,19 + 2.55) -f 2.20 -Ь 0,2

•13,86 =

= 0.880 мкГн.


Переходя к вопросу о расчете собственных индуктивностей, заметим, что основные формулы (1-9), (1-11) и соответствующие формулы Рис. 1-Зб

§ 1-3 требуют многократного интегрирования, выполнить которое численным методом было бы практически совершенно невозможно ввиду его чрезвычайной громоздкости. Поэтому для расчета собственных индуктивностей методом численного интегрирования следует применять формулу (1-24), требующую лишь двукратного интегрирования вдоль оси провода. Так как величины G, А и Q, входящие в эту формулу, могут быть определены по формулам §2-10, то задача сводится, по существу, лишь к определению величины [формула (1-28)].

В приводимом ниже примере показан процесс вычисления этой величины методом численного интегрирования, причем для возможности оценки результата рассмотрен случай, допускающий решение в общем виде.

Пример 1-4. Определить величину N для провода, изогнутого по дуге окружности радиуса /? == 1 м при угле 6 = 55° (рис. 1-10).

Точное решение этой задачи может быть получено с помощью формулы (2-51), которая при 6 = 55° и /? = 1м дает

N = [0,960 (In 8 - 2) - 4-0.581 -- 4-0.462] = - 0.399



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [14] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160


0.0172