и, подставляя это выражение в (1-2), а (1-2) - в (1-4) и (1-5), можно написать

\Mdi"; (1-6)

di JMdt".

(1-7)

Входящая в эти формулы взаимная" индуктивность М двух нитей тока может быть найдена по формуле

COS.

(1-8)

где dl и dZ" - элементы длины нитей / и /"; D - расстояние между этими элементами; О -угол между ними, причем нити I и I" в формуле для собственной индуктивности принадлежат одному и тому же контуру, а в формуле для взаимной индуктивности -двум различным контурам (рис. 1-4 и 1-5). Интегрирование в формуле (1-8) производится сперва по нити /" при фиксированном положении элемента длины dl, а затем по нити Найдя выражение для взаимной индуктивности М нитей / и I", следует подставить его в формулы (1-6) или (1-7) и произвести указанное в них двукратное интегрирование. Необходимо, однако, иметь в виду, что формулы (1-6) и (1-7) имеют смысл только при условии, что плотность переменного тока во всех точках каждого контура имеет одну и ту же фазу. Б противном случае интегралы, входящие в эти формулы, не будут пропорциональны мгновенным значениям со- ответствующих токов п выражения (1-6) и (1-7)

Рис. 1-5

окажутся зависящими от времени, т. е., по существу, потеряют смысл.

- Таким образом, упомянутые формулы непосредственно применимы лишь при постоянном токе и при переменном токе низкой частоты, когда фаза плотности тока одинакова во всех точках каждого контура, а также при переменном токе весьма высокой частоты, когда можно считать, что все элементарные нити тока, сосредоточенного в весьма тонком поверхностном слое, несут токи, совпадающие друг с другом по фазе.

В первом из двух указанных предельных случаев можнр положить йШ = ds/s, где ds -элемент площади s поперечного сечения соответствующего провода. Следовательно, для случая низкой частоты имеем

L = -jds\Mds"; (1-9)

M = - \ds\M ds". (1-10)

Si bg

Bo втором случае внутренний интеграл в формулах (1-6) и (1-7), представляющий собой магнитный поток, сцепленный с нитью одинаков для всех нитей и, следовательно, в этом случае вместо (1-6) и (1-7) можно написать

Непосредственное применение этих формул обычно невозможно, так как распределение тока по поверхности проводника, как правило, неизвестно. Расчет упрощается, если предположить, что ток распределен по периметру поперечного сечения каждого проводника равномерно. Хотя это предположение не всегда соответствует действительности, однако во многих случаях расчет индуктивностей, исходящий из предположения о равномерности распределения тока по поверхности, приводит к результатам, достаточно близким к истинным *.

* О степени точности этого предположения и границах его применимости, а также о возможных методах расчета, учитывающих неравномерность распределения тока по поверхности проводника, см. в § 1-5, 1-15, 1-17-1-19.

при указанном условии dili = dA/X, где dk -элемент периметра А, поперечного сечения соответствующего провода, •и тогда для случая весьма высокой частоты имеем

. i = ±.dr \Mdk"\ (1-11)

• :

Пусть два рассматриваемых контура «линейны», т. е. .размеры контуров и расстояния D от элементов одного контура до элементов другого много больше линейных размеров их поперечных сечений. Тогда при любом характере распределения токов по сечениям взаимная индуктивность контуров М равна М, т. е. может быть найдена по формуле (1-8), причем под / и /" следует понимать осевые нити контуров. Таким образом, при расчете взаимной индуктивности линейных контуров необходимость двукратного интегрирования по площадям или периметрам сечений отпадает.

Во избежание ошибки, которую иногда делают, следует иметь в виду, что выражение для собственной индуктивности линейного контура не может быть получено из формулы (1-8) путем отождествления обоих контуров, т. е. путем слияния нитей / и /". Правильное решение этой задачи может быть получено путем применения принципа средних геометрических расстояний (§ 1-9) или общей формулы (1-24), данной в § 1-5.

1-3. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ИНДУКТИВНОСТЕЙ СЛОЖНЫХ КОНТУРОВ. ИНДУКТИВНОСТИ УЧАСТКОВ

При определении собственных и взаимных индуктивностей контуров, состоящих из нескольких участков, двойной интеграл по нитям I и /" в формуле (1-8) для М можно представить в виде двойной суммы таких же интегралов по длинам отдельных участков, после чего для собственной индуктивности L контура, состоящего из п участков (рис. 1-6), и взаимной индуктивности М двух контуров, состоящих из п и m участков, получим

Ltu+ttM„„ 1фк; (1-13)

п п+т

М = S S (1-14)