весьма высокой частоте любого контура К, в габариты которого вписывается контур К (рис. 1-48).

Следует иметь в виду, что упомянутые здесь общие оценки, непосредственно вытекающие из принципа Дирихле, в ряде случаев могут оказаться довольно грубыми. В подобных случаях более точные оценки можно иногда получить с помощью специальных методов, рассмотренных в двух следующих пунктах этого параграфа.

Рис. 1-48

2. Метод предписанных поверхностей и линий. Принципы Дирихле и Томсона [неравенства (1-121) и (1-122)], как уже отмечалось, можно использовать для двухсторонней оценки индуктивностей контуров при весьма высокой частоте. Одним из методов такой оценки является метод предписанных поверхностей и линий. Идея этого метода заключается в том, что при выборе поля Н заранее задаются формой поверхностей (для двухмерных задач - линий) равного скалярного потенциала, а при выборе поля В" -формой линий этого вектора, после чего из всех полей, отвечающих предписанным требованиям, выбирают такие, при которых неравенства (1-121) и (1-122) дают наилучшую оценку индуктивности.

Продемонстрируем применение этого метода на примере однофазного кабеля с произвольной формой поперечного 1сечения прямого и обратного проводов (рис. 1-49). Отнесем сечение кабеля к полярной системе координат р, 6, расположив ее начало внутри сечения внутреннего провода, и пусть р = г (6) и р = (6) будут уравнениями границ области Q со стороны внутреннего и внешнего проводов.

Магнитное поле Н в области Q будем характеризовать скалярным потенциалом v, который представим в виде v = = 1ф (р, 6), где i -ток кабеля. Для однозначности этого потенциала. в области Q введем непроницаемую перего-

родку [15], которую совместим с частью луча 6 = 0 между границами области. Если принять, что ф = О при 6 = 0, то при 6 = 2ябудем иметь ф = 1. В остальном выбор функции ф (р, Э) произволен. Мы рассмотрим случай, когда ф не зависит от р и, следовательно, линии равного потенциала совпадают с лучами 6 = const, а напряженность Н = = -grad V фиктивного поля имеет только составляющую Яе; при этом

i dtp

Н Н

и из формулы (1-121) для индуктивности кабеля на единицу его длины находим

F(Q)dB.

(1-123)

где dQ = p dp d0; F (6) =

= In- r(e) •

Если принять ф (6) = = 6/(2n), то последняя формула дает

Рис. 1-49

Эта оценка верхнего предела индуктивности кабеля не является, однако, наилучшей. Обозначив интеграл в правой части формулы

(1-123) через J, а интеграл dQ/VF (0) через и применяя неравенство Шварца, имеем

/F(e)

lFiQ)

= 1.

откуда /i l/Zg, причем равенство имеет место только при пропорциональности или равенстве подынтегральных функций интегралов /j и J. При этом для индуктивности L получим

/2л \ -1

\о /

что в рассматриваемом случае и дает наиболее точную верхнюю оценку индуктивности. Аналогично находится и нижняя оценка. Если ввести параметр q, изменяющийся от О при р = г до 1 при р = и определить семейство линий вектора В" уравнением

p(Q)= (\ -q)r{Q) +qR{Q), (1-125)

то, используя, как и выше, неравенство Шварца, можно получить наилучшую нижнюю оценку индуктивности в виде

(1-126)

K = {Ro- ro)j>\graAq\dl; (1-127)

Igradgl fLrf {l +-[---(p--)

dk -элемент длины линии вектора В", проходящей через точку (Ро, 0) на луче Э = О, а индексами О отмечены величины, относящиеся к этому лучу; штрихи у г и R означают производные по углу Э.

Из формул (1-124) и (1-126) видно, что нахождение верхней и нижней оценок индуктивности требует однократного или двукратного интегрирования, которое, как правило, приходится выполнять численно.

Расчет существенно упрощается, если границы области г гомотетичны. Пусть центр гомотетии совпадает с началом

координат, а коэффициент гомотетии равен k. Тогда In R/r =

~ In k, и формула (1-124) дает

]п/г.

Для этого случая

2 11/2

(1-128)

(1-129)

где dl -элемент длины внутренней границы области Q, откуда

(1-130)

Найдем в качестве простого примера верхнюю и нижнюю оценки индуктивности кабеля, прямой и обратный провода