Главная Магнитный поток и электрический контур



весьма высокой частоте любого контура К, в габариты которого вписывается контур К (рис. 1-48).

Следует иметь в виду, что упомянутые здесь общие оценки, непосредственно вытекающие из принципа Дирихле, в ряде случаев могут оказаться довольно грубыми. В подобных случаях более точные оценки можно иногда получить с помощью специальных методов, рассмотренных в двух следующих пунктах этого параграфа.



Рис. 1-48

2. Метод предписанных поверхностей и линий. Принципы Дирихле и Томсона [неравенства (1-121) и (1-122)], как уже отмечалось, можно использовать для двухсторонней оценки индуктивностей контуров при весьма высокой частоте. Одним из методов такой оценки является метод предписанных поверхностей и линий. Идея этого метода заключается в том, что при выборе поля Н заранее задаются формой поверхностей (для двухмерных задач - линий) равного скалярного потенциала, а при выборе поля В" -формой линий этого вектора, после чего из всех полей, отвечающих предписанным требованиям, выбирают такие, при которых неравенства (1-121) и (1-122) дают наилучшую оценку индуктивности.

Продемонстрируем применение этого метода на примере однофазного кабеля с произвольной формой поперечного 1сечения прямого и обратного проводов (рис. 1-49). Отнесем сечение кабеля к полярной системе координат р, 6, расположив ее начало внутри сечения внутреннего провода, и пусть р = г (6) и р = (6) будут уравнениями границ области Q со стороны внутреннего и внешнего проводов.

Магнитное поле Н в области Q будем характеризовать скалярным потенциалом v, который представим в виде v = = 1ф (р, 6), где i -ток кабеля. Для однозначности этого потенциала. в области Q введем непроницаемую перего-



родку [15], которую совместим с частью луча 6 = 0 между границами области. Если принять, что ф = О при 6 = 0, то при 6 = 2ябудем иметь ф = 1. В остальном выбор функции ф (р, Э) произволен. Мы рассмотрим случай, когда ф не зависит от р и, следовательно, линии равного потенциала совпадают с лучами 6 = const, а напряженность Н = = -grad V фиктивного поля имеет только составляющую Яе; при этом

i dtp

Н Н

и из формулы (1-121) для индуктивности кабеля на единицу его длины находим

F(Q)dB.

(1-123)


где dQ = p dp d0; F (6) =

= In- r(e) •

Если принять ф (6) = = 6/(2n), то последняя формула дает

Рис. 1-49

Эта оценка верхнего предела индуктивности кабеля не является, однако, наилучшей. Обозначив интеграл в правой части формулы

(1-123) через J, а интеграл dQ/VF (0) через и применяя неравенство Шварца, имеем

/F(e)

lFiQ)

= 1.

откуда /i l/Zg, причем равенство имеет место только при пропорциональности или равенстве подынтегральных функций интегралов /j и J. При этом для индуктивности L получим

/2л \ -1

\о /



что в рассматриваемом случае и дает наиболее точную верхнюю оценку индуктивности. Аналогично находится и нижняя оценка. Если ввести параметр q, изменяющийся от О при р = г до 1 при р = и определить семейство линий вектора В" уравнением

p(Q)= (\ -q)r{Q) +qR{Q), (1-125)

то, используя, как и выше, неравенство Шварца, можно получить наилучшую нижнюю оценку индуктивности в виде

(1-126)

K = {Ro- ro)j>\graAq\dl; (1-127)

Igradgl fLrf {l +-[---(p--)

dk -элемент длины линии вектора В", проходящей через точку (Ро, 0) на луче Э = О, а индексами О отмечены величины, относящиеся к этому лучу; штрихи у г и R означают производные по углу Э.

Из формул (1-124) и (1-126) видно, что нахождение верхней и нижней оценок индуктивности требует однократного или двукратного интегрирования, которое, как правило, приходится выполнять численно.

Расчет существенно упрощается, если границы области г гомотетичны. Пусть центр гомотетии совпадает с началом

координат, а коэффициент гомотетии равен k. Тогда In R/r =

~ In k, и формула (1-124) дает

]п/г.

Для этого случая

2 11/2

(1-128)

(1-129)

где dl -элемент длины внутренней границы области Q, откуда

(1-130)

Найдем в качестве простого примера верхнюю и нижнюю оценки индуктивности кабеля, прямой и обратный провода



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [24] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160


0.0112