Главная Магнитный поток и электрический контур



которого (рис. 1-50) представляют собой гомотетичные эллипсы с полуосями а, b я А = ka, В = kb. Верхняя оценка определяется формулой (1-128). Для получения нижней оценки совместим луч в = О с большими полуосями эллипсов, после чего выражение для Л примет вид

Л = 4р, 1(1+4-). о \

где 8 = 1 - bla; Т = i/1 - cos О . Выполнив указанное в этой формуле интегрирование, при bla = 1/у2, е = \1-]2 найдем Л/ро = 6,66 и соответственно

(1-131)

6,66

1п k.

Отношение правых частей неравенств (1-128) и (1-131) равно 6,66/(2я) = 1,06, и, следовательно, индуктивность кабеля можно в данном случае оценить с погрешностью, не превышающей 3 %.

В заключение отметим, что в силу известной связи между индуктивностью и емкостью идеальной линии [формула (1-146)], зная верхнюю оценку емкости линии (кабеля), можно найти нижнюю оценку ее индуктивности, и наоборот.

3. Вариационный метод Ритца. Из принципа Томсона [формула (1-122)] следует, что интеграл

= J(B7

(1-132)

в правой части формулы (1-122) принимает минимальное значение /щт, когда фиктивное поле В" совпадает с истинным полем В рассматриваемого контура. При этом

L = t m.n. (1-133)

Таким образом, задача определения индуктивности контура при весьма высокой частоте может быть сведена к за-

В=кЬ

Рис. 1-50



даче отыскания векторной функции В", минимизирующей интеграл (1-132). Так как точное решение этой вариационной задачи чаще всего невозможно, обычно ограничиваются приближенным ее решением. Среди различных методов, применяемых в подобных случаях, одним из наиболее простых и эффективных является метод Ритца, который мы рассмотрим здесь применительно к проводам и системам с плоскопараллельным магнитным полем. В этом случае векторы поля Н и В лежат в параллельных плоскостях, одну из которых можно совместить с плоскостью ху; при этом векторный потенциал поля А имеет только одну составляющую А, параллельную оси z, и

(T=()4(t)-6radM.,

так что

/=gradM,dQ. (1-134)

[, По методу Ритца приближенное значение функции А, Г минимизирующей интеграл (1-132), ищется в виде суммы

I Лг = Ахфх -ЬаФг +•••, (1-135)

: где ф1. Фа, ... -линейно независимые функции, выбранные так, чтобы сумма (1-135) удовлетворяла граничным условиям задачи независимо от значений параметров а, .....

Значения этих параметров определяют из условия

=.0, й=1, 2, .... (1-136)

обеспечивающего минимум интеграла (1-132). Если сумма (1-135) содержит п членов, то условие (1-136) дает систему п (уравнений, из которой и можно найти все параметры а. Продемонстрируем применение метода Ритца на уже рассмотренном в п. 2 примере однофазного кабеля, имеющего сечение в виде двух гомотетичных эллипсов с полуосями а, b и А = ka, В = kb (рис. 1-50). Если принять, что векторный ; потенциал А на наружном проводе равен нулю, то на вну- -трением проводе он равен магнитному потоку на единицу длины кабеля. В соответствии с методом Ритца, полагая п = 2, будем искать в виде

Лг = а1ф1 -- АаФг

и в качестве функций ф1 и фа выберем



Нетрудно видеть, что при этом удовлетворить граничным условиям для Лг МОЖНО ТОЛЬКО при

после чего остается неизвестным только параметр а. Дифференцируя по X и у, подставляя результат в (1-134) и выполнив интегрирование по области Q, заключенной между эллипсами, получим

-b(/%8 2fe6 j 2/fe2- I) Приравнивая нулю производную dllda, найдем

min - \ b a IW-I 3 + \} r и К a , \ /fe + 1 1 fe-lM-l

При b/a = l/y 2 И k = 2 последняя формула дает L = = l,023p, в то время как нижняя оценка по методу предписанных поверхностей и линий составляет в этом случае 1,041р, так что оба значения L отличаются друг от друга на 1,7 %.

В качестве другого примера применения метода Ритца рассмотрим задачу определения внутренней индуктивности Li прямолинейного провода из материала с весьма высокой магнитной проницаемостью (р > ро)- Если ток в проводе можно считать распределенным по его сечению равномерно (что имеет место при постоянном токе и низкой частоте), то Z - составляющая векторного потенциала магнитного поля внутри провода удовлетворяет двухмерному уравнению Пуассона

T+ = -•/" (1-137)

где / = i/s - плотность тока. 84



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [25] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160


0.0123