Главная Магнитный поток и электрический контур



в силу условия р > Ро можно считать, что одна из магнитных линий совпадает с границей поперечного сечения провода (рис. 1-51), которая, таким образом, является линией равного значения [15], причем это значение можно принять равным нулю. Если решить уравнение (1-137) при указанном граничном условии и

найти энергию магнитного поля внутри провода на единицу его длины

1 - 4" J Л,У dfi = j grad Л, dQ, :(М38)


Рис. 1-51

то из равенства

определится и внутренняя индуктивность Lj. При этом решение уравнения (1-137), а следовательно, и определение Ц можно свести к задаче минимизации некоторого интеграла, который в данном случае имеет вид

grad" Л -2УЛp)cгQ.-

(l-139)

Минимум интеграла 1, как и раньше, достигается, когда А является решением уравнения (1-137), т. е. совпадает с истинным значением Л. В этом случае

= iJ fe" - 2iiJA,).dQ =W-2W =

W

и, следовательно,

(1-140)

V Приведем решение рассматриваемой задачи для случая, когда провод имеет прямоугольное поперечное сечение (рис. 1-52). Приближенное значение минимизирующей функ-

; ции ищем по методу Ритца, т. е. в виде (1-135), выбрав в качестве и фа функции

ф1 = («2 --х2)(Ь2 (4 4) (,4 4) (1.141)



каждая из которых удовлетворяет граничному условию задачи (ф1 = О, Фа = О при X - ±а или у = ±Ь). В первом приближении, положив = О, будем иметь

Л = Gi {а - х) (Ь - у).

Подставив Л в (1-139), выполнив указанные в этой формуле операции, из условия dl/da = О найдем

5 ai

32 ab (а2 + fes)

и соответственно

= iqГ6r = 0,0694р-

p2i2

(1-142)

Если сохранить в формуле (1-135) два члена, то более точное значение Lj будет

L, = 0,0703p3-. (1-143)

Истинное значение L,, которое можно получить, решая уравнение Пуассона (1-137) методом разделения переменных, определяется формулой

Ц th(2«+l)-f 4"

(2п + 1)=

/1=0

(1-144)

Формулы показывают, что в данном случае метод Ритца приводит к более простым выражениям для внутренней индуктивности провода, чем метод разделения переменных. Из формул (1-142) и (1-143) видно, в частности, что максимального значения величина L достигает при а = Ь, т. е. для провода квадратного сечения. В этом случае формулы (1-142) и (1-143) дают соответственно Рис. 1-52 Li = 0,0347р и Lj




= 0,0351ц,, в то время как по точной формуле (1-144) L/p = = 0,03517, так что погрешность формулы (1-142) составляет 1,3 %, а формулы (1-143) - около 0,2 %.

Для сравнения отметим, что внутренняя индуктивность провода кругового сечения = р/(8я) = 0,0398р - на 13 % больше, чем у провода квадратного сечения.

1-18. МЕТОД ПОЛОСОК

Индуктивность контура при весьма высокой частоте может быть определена с учетом неравномерности распределения тока по поверхности проводника, если воспользоваться методом полосок, в известной мере аналогичным методу площадок, применяемому в электростатике [2].

Рассмотрим какой-либо контур и представим выражение для индуктивности этого контура при весьма высокой частоте (§ 1-2) в виде

mj dK==Li4, (1-145)

где ¥ -магнитный поток контура; i -ток в нем. Эта формула может рассматриваться как интегральное уравнение относительно линейной плотности тока /, и идея метода полосок затшючается в приближенном решении этого уравнения путем его замены соответствующей системой линейных алгебраических уравнений.

Для получения такой системы поверхность S рассматриваемого контура разбивают на ряд полосок, границы которых совпадают с линиями тока на поверхности S. При этом ширина полосок (не обязательно одинаковая для различных полосок) выбирается достаточно малой для того, чтобы плотность тока в пределах каждой полоски можно было считать постоянной по ее ширине. Каждой полоске приводится в соответствие характерная нить тока (например, нить, проходящая через середину поперечного сечения полоски), после чего магнитный поток, сцепленный с нитью k, можно приближенно представить в виде

где п - число полосок; - собственная индуктивность полоски k; Miu {i ¥= k) - взаимная индуктивность полосок i и k. При этом собственные индуктивности Lu определяются в соответствии с принятым условием постоянства



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [26] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160


0.0111