где Lfe и Mfit - интегралы вида (1-6) и (1-7), соответствующие отдельным участкам контуров. Эти величины, широко используемые при расчете индуктивностей контуров сложной формы, будем называть соответственно собственной индуктивностью k-ro участка и взаимной индуктивностью /г-го и 1-го участков.

При постоянном токе и низкой частоте они могут быть определены по формулам:

Рис. 1-6

„2 J j

Mm =

J M„ds ds";

ds ds".

a при весьма высокой частоте - по формулам:

Mu~\rdK\Mnii"d%",

(1-15) (1-16)

(1-17) (1-18)

dV di" cos d D

I I"

(1-19)

Здесь Mh - взаимная индуктивность двух нитей тока !: Г, проходящих через элементы ds и ds" площади s или соответственно через элементы dV и dX" периметра К поперечного сечения /г-го участка; Мы -то же для нитей, проходящих через элементы площадей Su и или соответственно периметров "к и поперечных сечений k-то и t-ro участков; / = dildV и /" = di"/dX" - линейные плотности тока в точках расположения элементов dk и dk"; D и & - расстояние и угол между элементами длины dl и dl" нитей / и Г.

Интегрирование по нитям / и /" производится лишь в пределах соответствующих участков.

Если можно принять, что токи распределены по периметрам поперечных сечений проводов равномерно (/ = const, j". = const), то

L, = 4- f \ThdKdr;

M,a d\ dK".

(l-17a) (l-18a)

Взаимная индуктивность линейных проводов (двух участков линейных контуров) при любой частоте может быть

принята равной взаимной индуктивности Mi осевых нитей / и /" этих проводов:

" 4я

dldl" cos §

, (1-20)

г I"

Рис. 1-7

Для иллюстрации процесса интегрирования, связанного с применением формул (1-15)-(1-20), а также соответствующих формул предыдущего параграфа, приведем два примера.

В качестве первого примера определим взаимную индуктивность двух одинаковых прямолинейных параллельных нитей тока, расположенных согласно рис. 1-7. Применяя общее выражение (1-20) и пользуясь обозначениями рис. 1-7, можно написать

4л J

D

(1-21)

где а Х2- координаты, отсчитываемые вдоль нитей от общего перпендикуляра к ним, и

причем dl dl" cos & = d% dx2 ввиду параллельности соответствующих элементов длины. Интегрируя выражение (1-21) по Хг. имеем

[1п (х, -х1 + 1Г(х.,- xj -ь 11)]*рdx,. Интегрируя это выражение по частям, найдем 4я

= -1 U2*2 In 11 + (1 - Ч) In (г -Хг + {х.,~ х{} + if) +

Подставляя пределы и производя упрощения, получим

(in i+i + n" Vi + n пу

Если / т], то можно написать

, 21 I rf 3 Т1« ,

= 1п -+ --7---+---.

и для М получаем

Наконец, если можно пренебречь первой и более высокими, степенями т) по сравнению с единицей, то выражение для М. приобретает следующий простой вид:

В качестве второго примера рассмотрим прямолинейный провод произвольного, но постоянного по длине сечения и определим его индуктивность при низкой частоте в предположении, что длина провода значительно больще линейных размеров его поперечного сечения.

При определении индуктивности будем исходить из формулы (1-15). Так как любое расстояние в пределах поперечного сечениятровода мало по сравнению с его длиной, то для взаимной индуктивности двух нитей тока можно применить выражение (1-22).

Подставляя значение М из (1-22) в формулу (1-15) и принимая во внимание, что от положения нитей зависит только член, содержащий т], можем написать

j iHTjd.sds"

Последний член в скобках представляет собой логарифм среднего геометрического расстояния g площади s поперечного сечения провода от самой себя (§ 1-8). Таким образом.

и, для П(

мула (10-5)] и

В частности, для провода кругового сечения lng= In л--1-[фор-