Главная Магнитный поток и электрический контур



••Величина W является функцией от 1 и при невозможности найти предел выражения (1-27) в общем виде может быть вычислена по приближенной формуле

W = V +ln2h, (1-29)

относительная погрешность которой одного порядка с величиной a/Rm.

В качестве простого примера, иллюстрирующего применение формулы (1-28), найдем величину Л для провода, изогнутого по дуге окружности.

Пользуясь обозначениями рис. 1-10, имеем D = 2R sin dli = RdQi,

dl - R d&2. Подставив эти значения в формулу (1-26), получим


COSS

2 sin

d©2 = -

cos О

Рис. МО

1п1е#-Ь2со5-2 + 2C0S A intg

2 sin

где i3 = alR. Применяя формулу (1-27) и учитывая, что h - 2R sin

можем написать

W=lim Intg A-l-2cos-In

4R sin

4>

-2 cos

= In tg -b 2 cos -f In 8i? - 2,

И, следовательно, г

л/= "

e(in 8i? -2) -4/-b4sin-

где e - центральный угол, соответствующий всей длине провода, а

/ = - I In tg #1 i.

Последний интеграл как неопределенный не верется. Его значения для различных углов 6 даны р табл. 2-2.



Пусть рассматриваемый провод имеет круговое поперечное сечение радиуса т. Тогда при постоянном токе и низкой частоте (формула (2-57)]

sin-

и формула (1-25) для этого случая дает

t=JV-G = Гв(1п-1.75)-4/-Ь4

В частности, при 6 = 2я имеем / = О и получаем известную фзмулу для индуктивности кругового кольца кругового поперечного сечения:

/, = Ио/? (ln-1,75).

Ограничившись приведенным простым примером, отметим, что, как правило, величина N не выражается в конечном виде через величины, определяющие форму и размеры провода. В подобных случаях N можно найти методом численного интегрирования (§ 1-12).

Величины G, А и Q при постоянном токе и приближенно при низкой частоте могут быть найдены из формул:

Ing; Л = -а; Q=-q\ (1-30)

где g, а, q - соответственно среднее геометрическое, среднее арифметическое и среднее квадратичное расстояния площади поперечного сечения провода от самой себя (§ 1-8); / -длина оси провода; D - расстояние между крайними точками оси провода (предполагается, что D q).

При весьма высокой частоте G, А а Q определяются аналогичными формулами:

8nD

(1-31)

lng = ~\idk /" In Г)d%" = -5- j /InT]dX; idk\j"ifdk" =-Lj/ifdX;

(Ь32)

j h j" -линейные плотности тока в точках расположения элементов dk и dk"- периметра к поперечного сечения про-



вода; т] -расстояние между этими точками; i -ток в проводе, а интегрирование производится по периметру поперечного сечения провода. \ Если ток можно считать распределенным по периметру сечения равномерно, то / = /" = const и

\ ё = g; а = а\- q = q,

где g, а и q - среднее геометрическое, среднее арифметическое и среднее квадратичное расстояния периметра К поперечного сечения провода от самого себя (§ 1-8).

В общем случае величины g, а и q должны быть определены по формулам (1-32), однако ввиду относительной малости величин Л и Q по сравнению с разностью -G обычно можно принять а = а, q = q.

. Что касается величины g, то ее непосредственное определение по формуле (1-32) большей частью связано с весьма значительными трудностями. Если, однако, принять, что распределение тока по периметру поперечного сечения провода конечной длины совпадает с распределением тока в уединенном бесконечно длинном прямолинейном проводе с такой же формой и такими же размерами поперечного сечения, то величина g может быть найдена другим путем, не требующим интегрирования по формуле (1-32).

Предположим, что магнитное поле тока весьма высокой частоты, протекающего по бесконечно длинному прямолинейному проводу заданного сечения, известно и V есть функция потока этого поля, определенная при условии, что 1/ = О на поверхности провода *. Тогда, введя полярную систему координат г, 6 с центром в пределах поперечного сечения провода (рис. 1-11), всегда можно представить функцию потока V для достаточно больших значений г в виде

У=-(1пСо-1пг + б), (*)

где i -ток в проводе; С(, - постоянная, зависящая от формы и размеров поперечного сечения провода, а б -малая величина, стремящаяся к нулю при г->оо. Можно показать, что величина g, определяемая формулой (1-32), равна Cq. Таким образом, если для провода рассматриваемого сечения известно разложение вида (*), то величина g определяется

* Вместо функции потока можно рассматривать векторный потенциал А, единственная составляющая которого (А) параллельна оси ровода и связана с V простой зависимостью: Az = PoV.



0 1 2 3 4 [5] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160


0.0236