; 2. Два контура, оси которых пересекаются в произвольной точке (рис. 5-21).

Для двух контуров, оси которых пересекаются в произвольной точке.

n(n+ 1)

(5-50)

Рис. 5-21

аХ-Щ + гЬ rii = cos tti = ri/oi; v = cose; al = Rl + rl;

Г]2 = COStta = Г2/С2; Ol>C2;

6 - угол между осями контуров (06 я); Р„ (v) - полином Лежандра; Р,, (Чх) и Pn{j\ - производные от полиномов Лежандра Р,(г]) и Р„ (1I2) по их аргументам. Значения Р„ (v), Р; (i]j) и Р, (т]) могут быть найдены по таблицам и формулам, приведенным в приложениях 1, 5, 6.

Если ряд (5-50) сходится недостаточно быстро, то взаимную индуктивность можно вычислить методом однократного численного интегрирования (§ 5-12).

5-12. ЧИСЛОВОЙ РАСЧЕТ ВЗАИМНЫХ ИНДУКТИВНОСТЕЙ КРУГОВЫХ КОНТУРОВ

Приводимые ниже формулы сводят расчет взаимных индуктивностей круговых контуров при любом их взаимном расположении к задаче однократного численного интегрирования*, выполняемого при помощи любой из формул механических квадратур (приложение 3).

Взаимная индуктивность круговых контуров с параллельными или пересекающимися осями может быть представлена в виде

где / и Л - указанные ниже определенные функции от а Мх - взаимная индуктивность коаксиальных круговых контуров, радиусы которых равны и р AR ц плоскости которых находятся друг от друга на расстоянии d, определяемом так, как указано ниже.

* Обоснование метода дано в § 1-12.

Величина М,, может быть вычислена по формулам § 5-8 или же определена по кривым рис. 5-7-5-9.

Если определять М,, по табл. 5-5 и 5-6, то удобнее представить М в виде

где F - величина, данная в таблицах, причем аргумент т, зависящий от определяется по формуле

где 6 = R/Ri, р = d/R.

1. Для контуров с параллельными осями (рис. 5-18)

АУГЩ!-, (5-53)

/=1~-С08*; d = rcose = x, (5-54)

где G = г sin Q = у.

2. Для контуров с пересекающимися осями (рис. 5-21)

Л2 = 1 - cos2 * sin2 е - 2 cos * cos е -f (-У; (5-55)

f = cos е - cos О; d = ri - R cos 0 sin 6 - /-g cos 6,

• Q (5-56)

где a = sin 6.

В частности, если оси контуров пересекаются в центре круга с радиусом R, то = О, = г, а = О и

Л2= 1 -cos&sine;

/ = 008 6; d = r - igcossine. (5-57)

Если контуры имеют общий центр, то, кроме того, г = 0.

В общем случае совместим центр 0 первого круга с началом декартовой системы координат, ось г направим вдоль оси этого круга, а плоскость хг проведем через центр 0 второго круга (рис, 5-22). Ось второго круга пересечет любую сферу, проведенную из точки 0, как из центра, в некоторой точке Р, положение которой определим долготой отсчитываемой от плоскости хг по часовой стрелке, и широтой 8, отсчитываемой от прямой Ог, па-

раллельной оси z. Тогда, полагая

1 -соББШе-!-

-{--(sinxpslnd -

- cos т)5 cos в cos 6) +

(5-58)

/ == cos 0-- (cos \р COSfl-

- sin sin & cos 6); (5-59) dh - Rz cos « Sin 6, (5-60) имеем

2зг J

Рис. 5-22

где по-прежнему Мх - взаимная индуктивность коаксиальных контуров с радиусами и р - AR, отстоящих друг от друга на расстояние d, а F-функция, данная в табл. 5-5 и 5-6, причем аргумент определяется по формуле (5-52).

Пример 5-12. Два круговых контура, радиусы которых равны Rx = = 20 см и Рг = 10 ™, расположены так, что ось первого контура проходит через центр второго. Расстояние между центрами контуров = 20 см. Оси контуров составляют угол 0 = 30°. Определить взаимную индуктивность контуров.

Решение. Для определения взаимной индуктивности контуров применяем метод однократного численного интегрирования. В данном случае величина / постоянна (/ = cos 6 = 0,6660) и ее можно вынести еа знак интеграла в формуле (5-51).

Последовательность расчета такова. Сначала по формулам (5-57) вычисляем значения величин А и d, соответствующие различным значения,м переменной •&. Зная i4 и 3 = diRx, находим по формуле (5-52) величину т, после чего по табл. 5-5 определяем соответствующие значения функции F.

Результат расчета сводим в табл. 5-10 и производим численное интегрирование.

Применяя параболическую формулу (приложение 3), имеем

" [2(3.429.+... 4- 1,607)-I-4(3,581 -Ь

3 12

+ ... + 1,625) - (3.429 + 1.607)]

"36

(2-16,938 +

+ 4-14.421 - 5.035) = 2,403 я.