Главная Магнитный поток и электрический контур



формулы для расчета средних геометрических расстояний даны в гл. 10.

Здесь мы продемонстрируем определение этих величин на простом примере окружности (рис. 1-17).

Применяя основную формулу (1-41) и учитывая, что ii = Ir sin-

= г d<iPi; di = г d(p; ф = ф; имеем

2п 2п

Ing =

4nV2

1 1 (

/-2 йф, d(p2.

в силу симметрии фигуры результат интегрирования по <Pi не зависит от значения cpz, поэтому

Так как

In sin xdx =--- In 2,

25ш-аф=2 In (2 sin Jt) rfjt == 4 j In (2 sin je) Ли =: 0

и, следовательно. In g = In r, т. e. среднее геометрическое расстояние окружности от самой себя равно радиусу этой окружности.

Помимо средних геометрических расстояний при расчете индуктивностей иногда встречается необходимость применять и так называемые средние арифметические и средние квадратичные расстояния.

Средние арифметические расстояния а и средние квадратичные расстояния q различных фигур друг от друга и самих от себя определяются формулами, аналогичными вышеприведенным, и могут быть получены из них путем замены In g и In t\ соответственно на а и Г) в первом случае и на i? и if во втором случае.

Например, для среднего арифметического и среднего квадратичного расстояния площади S от самой себя имеем

1 s2 J

j 11 ds ds";

j j rfdsds".

(1-42)


Рис. 1-17



Следует иметь в виду, что для фигур-, взаимные средние геометрические, арифметические и квадратичные расстояния g, а к q которых больше их линейных размеров, величины g, а и q относительно мало отличаются друг от друга и близки к расстоянию между центрами инерции этих фигур.

Так, например, для двух отрезков, изображенных на рис. 1-18,

lng=lnd- ---g-...; a = d;

где a = bid. При d - 2b, т. e. при a = 1/2, получаем <7«0,98d; a= d; q»i\,02d,

И, следовательно, a равно расстоянию между центрами отрезков, а g к q Отличаются от него лишь на 2 %.

Из сказанного следует, что для фигур, достаточно удаленных друг от друга, взаимные средние геометрические, арифметические и квадратичные

расстояния могут быть приняты равными расстоянию между их центрами инерции. Существенно также иметь в виду, что составляющие индуктив-

U U ностей, зависящие от средних арифме-

тических и квадратичных расстояний,

Рис. 1-18 обычно значительно меньше суммы

других составляющих, вследствие чего их можно вычислять с меньшей степенью точности. В большинстве случаев средние арифметические и квадратичные расстояния можно принимать равными среднему геометрическому расстоянию тех же фигур, как это видно, в частности, из приведенного примера.

В качестве второго примера укажем, что среднее квадратичное расстояние Q площадей двух одинаковых кругов, расстояние d между центрами которых втрое больше радиусов кругов, равно dj/l0/9» 1,05 d, т.е. отличается от среднего геометрического расстояния g = d только на 5%. Среднее арифметическое расстояние а, меньшее чем д, и большее, чем g. Отличается от g еще меньше.

Из изложенного следует, что практически различие между величинами а, q и g бывает необходимо учитывать лишь для фигур, весьма близко расположенных-друг к другу, а также при определении средних арифметических и квадратичных расстояний фигур от самих себя.

Формулы, необходимые для расчета в этих случаях, даны в гл. 10.

1-9. ПРИНЦИП СРЕДНИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАССТОЯНИЙ

Собственная индуктивность контура (или провода) может быть определена с помощью принципа средних геометрических расстояний, если известно выражение взаимной индуктивности двух соотБетствуюш,их эквидистантных нитей, т. е. нитей, имеюш,их такую же форму й размеры, как ось рассматриваемого контура, и расположен-



ных в параллельных плоскостях так, что соответствующие точки обеих нитей лежат на одном перпендикуляре к плоскостям и, следовательно, находятся на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 1-19). Принцип средних геометрических расстояний применительно к расчету собственных индуктивностей может быть сформулирован следующим образом; собственная индуктивность плоского контура из -провода постоянного сечения при равномерном распреде-лении тока по сечению равна взаимной индуктивности соответствующих эквидистантных нитей, отстоящих одна от


Рис. 1-19

другой на расстояние, равное среднему геометрическому расстоянию площади поперечного сечения провода от самой себя.

Сформулированный таким образом принцип приводит к точному результату для системы, состоящей из двух бесконечно длинных прямолинейных параллельных проводов произвольного, но постоянного сечения. Применение принципа к контурам иной формы приводит к ошибке, которая, вообще говоря, тем меньше, чем меньше линейные размеры поперечного сечения провода по сравнению с размерами самого контура [16]. Степень точности, получаемая при применении этого принципа к линейным проводам и катушкам, достаточна для большинства практических расчетов. Так, например, для массивного кругового кольца, радиус которого лишь в 5 раз превышает радиус его поперечного сечения, погрешность при расчете по принципу средних геометрических расстояний составляет около 0,2 %.

Принцип средних геометрических р-асстояний может быть применен к расчету индуктивностей и при весьма высокой Частоте. В этом случае, сделав дополнительное предполо-?кение о равномерности распределения тока по поверхности

2 Калантаров П. Л., Цейтлин Л. А. 33



0 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160


0.0159