Главная Магнитный поток и электрический контур



провода (§ 1-15), можно утверждать, что собственная индуктивность контура равна взаимной индуктивности соответствующих эквидистантных нитей, отстоящих одна от другой на расстояние, равное среднему геометрическому расстоянию не площади, а периметра поперечного сечения провода от самого себя. Допускаемая при этом погрешность- того же порядка, что и в случае низкой частоты.

Взаимная индуктивность двух эквидистантных плос.ких контуров с конечными размерами поперечных сечений может быть приближенно принята равной взаимной индуктивности двух соответствующих нитей, имеющих такую же форму и такие же размеры, как оси рассматриваемых контуров, и расположенных так, что кратчайшее расстояние между ними равно среднему геометрическому расстоянию площадей (или соответственно периметров) ближайших друг к другу поперечных сечений контуров.

Допускаемая при этом погрешность еще меньше, чем при определении собственных индуктивностей.

ЫО. ТЕОРЕМА О ЧЕТЫРЕХ ПРЯМОУГОЛЬНИКАХ И ОСНОВАННЫЙ НА НЕЙ МЕТОД

При расчете индуктивностей весьма полезным оказывается одно общее положение, именуемое в дальнейшем теоремой о четырех прямоугольниках.

Рассмотрим четыре прямоугольника 1, 2, 3, 4 (рис. 1-20), имеющих такие размеры и расположенных так, что каждая сторона любого из них лежит на одной прямой с какой-нибудь стороной другого прямоугольника. Обозначим через Sj, $2, S3, S4 площади прямоугольников, через dsj, ds, dsg, ds - элементы площадей s, s, S3, и через x и у, x и ц, и г), и у - координаты точек, принадлежащих этим площадям.

Пусть ф (х, I, у, ц) - некоторая функция координат х, I, у, ц, симметричная относительно х и , а также относительно и Tj, т. е. функция, удовлетворяющая условию

Ф (х, I, у, ц) = ф (I, X, Г), у) (1-43)

Если ф есть какая-нибудь геометрическая или физическая величина, определяемая положением точек {х, у) и (I, 11), то в силу условия симметрии эта величина будет для точек (х. Г)) и {t, у) иметь то же значение.

Например, если

Ф = г = /(-х)Ч-(П-У)



есть расстояние между точками {х, у) и (, ii), то расстояние между точками {х, li) и Ц, у) будет таким же. Этим свойством обладает и любая функция от г, например In г, 1/г. •; Введем обозначения:

f (/ X 5) = J J ср dsi dss, f (2 X 4) = J J cp ds ds,„ (1-44)

S, S3 S4

.д Ф-функция, удовлетворяющая условию (1-43).

Теорема о четырех прямоугольниках утверждает, что

F (1 X 3) = F {2 X 4), (1-45) а) Е)

причем это равенство сохраняет силу и в том случае, когда прямоугольники вырождаются в

"/

Рис. 1-20

Рис. 1-21

отрезки Прямых или точки (рис. 1-21, а-г). Индуктивности проводов, контуров и катушек в ряде случаев являются функциями вида (1-44), что можно усмотреть, в частности, из сравнения формул (1-44) с формулами (1-10) и (1-16). Именно это обстоятельство определяет значение теоремы о четырех прямоугольниках для расчета индуктивностей. Пусть, например, прямоугольники 1, 2, 3 и 4па рис. 1-20 являются поперечными сечениями четырех массивных медных колец, общая ось которых совпадает с прямой А А.

Согласно формуле (1-10) при постоянном токе и. низкой частоте взаимная индуктивность Мц колец 1 и 3 определяется выражением

М.з = -

S1S3

Mis dsi ds3.

(1-46)

где - взаимная индуктивность двух круговых нитей, имеющих своей осью ось х и проходящих одна через точку ("-У), а другая -через точку (?, ii).

2* 35



Взаимная индуктивность колец 2 и 4 выражается аналогичной формулой

M2ids2dsi, (1-47)

M24 =

S2S4 J J

«2 Si

где M24 - взаимная индуктивность нитей, проходящих через точки {х, 11) и {1,у).

Очевидно, что Mig = М, откуда следует, что произведения siSsMis и S2S4M24 являются величинами именно того


Рис. 1-22

Рис. 1-23

Рис. 1-24

вида, для которого установлена теорема о четырех прямоугольниках. Так как, кроме того, sSg = S2S4, то, следовательно, на основании этой теоремы можно утверждать, что взаимная индуктивность колец 1 а 3 равна взаимной индуктивности колец 2 и 4 -обстоятельство, непосредственно не очевидное.

Расчет взаимных индуктивностей шйн и катушек прямоугольного сечения, а также контуров прямоугольной формы требует вычисления двойных интегралов вида

ср dsh dsi.

(1-48)

распространенных по площадям двух лежащих в одной плоскости прямоугольников и i с параллельными сторонами. С помощью теоремы о четырех прямоугольниках вычисление величин этого вида может быть сведено к вычислению нескольких величин вида

F (k) = ср dsk ds"k.

(1-49)

где ф - та же функция координат, что и в формуле (1-48), а интегрирование производится дважды по площади -го прямоугольника [16



0 1 2 3 4 5 6 7 8 [9] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160


0.0095