Главная Численные методы при исследовании физических задач



численные методы

Глава VI

Алгебраическая проблема собственных значений

§ 1. Проблема и простейшие методы 156

1. Элементы теории (156). 2. Устойчивость (159). 3. Метод интерполяции (162). 4. Трехдиагональные матрицы (164). 5. Ночти треугольные матрицы (165). 6. Обратные итерации (166).

§ 2. Эрмитовы матрицы 170

1. Метод отражения (170). 2. Нрямой метод вращении (175). 3. Итерационный метод вращении (177).

§ 3. Неэрмитовы матрицы 181

1. Метод элементарных преобразований

(181). 2. Итерационные методы (186). 3.

Некоторые частные случаи (187).

§ 4. Частичная проблема собственных 189

значений

1. Особенности проблемы (189). 2. Метод линеаризации (189). 3. Степенной метод (190). 4. Обратные итерации со сдвигом (191).

Задачи 193

Глава Vn Поиск минимума

1. Постановка задачи (194). 2. Золотое 194

сечение (196). 3. Метод парабол (198). 4. Стохастические задачи (200). § 2. Минимум функции многих переменных 201 1. Рельеф функции (201). 2. Спуск по координатам (203). 3. Наискорейший спуск (207). 4. Метод оврагов (209). 5. Сопряженные направления (210). 6. Случайный поиск (214).

§ 3. Минимум в ограниченной области 215

1. Формулировка задачи (215). 2. Метод штрафных функций (216). 3. Линейное программирование (217). 4. Симплекс-метод (220). 5. Регуляризация линейного программирования (221).

§ 4. Минимизация функционала 223

1. Задачи на минимум функционала (223). 2. Метод пробных функций (226). 3. Метод Ритца (230). 4. Сеточный метод (240). Задачи 236

Глава Vni

Обыкновенные дифференциальные уравнения

§ 1. Задача Коши 237

1. Постановка задачи (237). 2. Методы

решения (238). 3. Метод Пикара (240). 4. Метод малого параметра (242). 5. Метод ломаных (243). 6. Метод Рунге-Кутта (246). 7. Метод Адамса (250). 8. Неявные схемы (252). 9. Специальные методы (353). 10. Особые точки (257). 11. Сгущение сетки (258).

§ 2. Краевые задачи 261

1. Постановки задач (261). 2. Метод стрельбы (262). 3. Уравнения высокого порядка (266). 4. Разностный метод; линейные задачи (268). 5. Разностный метод; нелинейные задачи (271). 6. Метод Галеркина (276). 7. Разрывные коэффициенты (279).

§ 3. Задачи на собственные значения 280

1. Постановка задач (280). 2. Метод стрельбы (281). 3. Фазовый метод (282). 4. Разностный метод (284). 5. Метод дополненного вектора (286). 6. Метод Гаперкина (288).

Задачи 289

Гл аваЕХ

Уравнения в частных производных

1. О постановках задач (290). 2. Точные 290

методы решения (292). 3. Автомодельность

и подобие (294); 4. Численные методы (296).

§ 2. Аппроксимация 299

1. Сетка и шаблон (299). 2. Явные и неявные

схемы (301). 3. Певязка (302). 4; Методы

составления схем (303). 5. Аппроксимация и

ее порядок (307).

§ 3. Устойчивость 311

1. Неустойчивость (311). 2. Основные понятия (312). 3. Принцип максимума (315). 4. Метод разделения переменных (318). 5. Метод энергетических неравенств (322). 6. Операторные неравенства (323). § 4. Сходимость

1. Основная теорема (324). 2. Оценки точности (327). 3. Сравнение схем на тестах (331).

Глава X

Уравнение переноса 1. Задачи и решения (334). 2. Схемы бегущего счета (336). 3. Геометрическая интерпретация устойчивости (341). 4. Многомерное уравнение (344). 5. Перенос с поглощением (346). 6. Монотонность схем (348). 7. Диссипативные схемы (351). § 2. Квазилинейное уравнение 354

1. Сильные и слабые разрывы (354). 2. Однородные схемы (357). 3. Псевдовязкость (359). 4. Ложная сходимость (362). 5.



Консервативные схемы (363).

Главах! 366

Параболические уравнения

§ 1. Одномерные уравнения 368

1. Постановки задач (368). 2. Семейство неявных схем (369). 3. Асимптотическая устойчивость неявной схемы (374). 4. Монотонность (376). 5. Явные схемы (378). 6. Наилучшая схема (380). 7. Криволинейные координаты (384). 8. Квазилинейное уравнение (386). § 2. Многомерное уравнение 389

1. Экономичные схемы (389). 2. Продольно-поперечная схема (391). 3. Локально-одномерный метод (394). 4. Метод Монте-Карло (399).

Задачи 399

Глава ХП

Эллиптические уравнения

§ 1. Счет на установление 401

1. Стационарные решения эволюционных

задач (401). 2. Оптимальный шаг (404). 3.

Чебышевский набор шагов (409).

§ 2. Вариационные и вариационно- 413

разностные методы

1. Метод Ритца (413). 2. Стационарные

разностные схемы (414). 3. Прямые методы

решения (415). 4. Итерационные методы

(420).

Задачи 423

Глава ХШ

Гиперболические уравнения

§ 1. Волновое уравнение 424

1. Схема «крест» (424). 2. Неявная схема

(427). 3. Двуслойная акустическая схема.

(429). 4. Инварианты (434). 5. Явная

многомерная схема (435). 6.

Факторизованные схемы (436).

§ 2. Одномерные уравнения газодинамики 439

1. Лагранжева форма записи (439). 2.

Псевдовязкость (442). 3. Схема «крест»

(444). 4. Неявная консервативная схема

(447). 5. О других схемах (450).

Задачи 451

Глава XIV

Интегральные уравнения

§ 1. Корректно поставленные задачи 452

1. Постановки задач (452). 2. Разностный метод (455). 3. Метод последовательных приближений (458). 4. Замена ядра вырожденным (460). 5. Метод Галеркина (461).

§ 2. Некорректные задачи 462

1. Регуляризация (462). 2. Вариационный

метод регуляризации (465). 3. Уравнение

Эйлера (469). 4. Некоторые приложения

(473). 5. Разностные схемы (476).

Задачи 478

ГлаваХУ

Статистическая обработка эксперимента 1. Ошибки эксперимента (480). 2. Величина и доверительный интервал (482). 3. Сравнение величин (490). 4. Нахождение стохастической зависимости (494). Задачи 500

Приложение Ортогональные многочлены 501 Литература 505

Предметный указатель 509

ПРЕДМЕТНЫЙ

Автомодельные решения 294 Адамса метод 250 Анализ регрессии 495, 496 Анизотропная теплопроводность 394, 395 Аппроксимационная вязкость 351 Аппроксимация 308

- абсолютная 310

- безусловная 310

- дробно-линейная 63

- краевых условий 385, 393, 427

- локальная 309

- условная 310 Асимметрия 487

Бегущая температурная волна 295 Бегущий счет 337, 344, 379 Бесселя формулы 62 Большие задачи 388 Включение точки 388

УКАЗАТЕЛБ Вольтерра уравнение второго рода 454

- первого рода 462 Выбор веса 60, 486, 497 Выравнивающая замена переменных 42 Вырожденное ядро 460 Вычисление корней многочлена 147, 148

- кратных интегралов методом Монте-Карло

последовательного интегрирования

ячеек 108

- несобственных интегралов 105

- обратной матрицы 131

- определителя 130 Галеркина метод 276, 288, 461 Гарвика прием 146

Геометрическая интерпретация устойчивости 341, 379



Гивенса метод вращении 175 Гильбертово пространство 20 Двухкруговые итерации 449 Дервюдье метод 189 Дирихле задача 401 Дисбаланс 365 Дисперсионный анализ 495 Диссипативные схемы 353 Дифференцирование быстропеременных функций 80

- интерполяционного многочлена Ньютона 70

----, погрешность 71

- на квазиравномерных сетках 80

- на равномерной сетке 73 Дихотомия 139, 263 Доверительная вероятность 483 Доверительный интервал 483 Допустимое решение 356 Жор данов набор шагов 411 Жорданова подматрица 157

- форма матрицы 157 Замораживание коэффициентов 320 Зейделя метод 155 Инварианты акустические 434 Интегрирование осциллирующих функций 103

- разрывных функций 100 Интегро-интерполяционный метод 304 Интерполяционный многочлен Ньютона 30 ---, погрешность 32

---, -, апостериорная оценка 33

--Эрмита 36

---, погрешность 37

Интерполяция квазилинейная 43

- лагранжева 28

- линейная 28

- многомерная 47

--на произвольной сетке 50

--последовательная 49

--треугольная 49

Интерполяция монотонная 47

- нелинейная 41

- обратная 35

- сплайнами 44 -, сходимость 39

- эрмитова 36

Квадратурные формулы, априорные оценки

точности 99 --,веса 86

--Гаусса - Кристоффеля 94

--Маркова 97

--нелинейные 100

--, погрешность 86

--Симпсона 88

--средних 89

--, сходимость 98

--трапеций 86

---, погрешность 87

--, узлы 86

--Эйлера - Маклорена 91

Комплексная организация расчета 274, 287, 409 Конечные разности 31 Консервативные схемы 365. 447 Корректность 24 Корреляционный анализ 497 Коши задача 238, 291

--плохо обусловленная 240

Коэффициент парной корреляции 497

- перекоса матрицы 161 Коэффициентная устойчивость 384 Краевые задачи 261, 291

--нестационарные 291

Критерии установления 408 Куранта условие 338, 436 Лагерра многочлены 503 Лежандра многочлены 501 Линеаризация разностной схемы 321 Линейное программирование 217 Локально-одномерные схемы 396 Матриц виды 132, 158

- нормы 21 Матрица вращения 175

- отражения 170

- сдвинутая 191

Метод баланса 304, 363, 380

- баллистический 262

- вращений итерационный 177

---, выбор оптимального элемента 179

--прямой 175

- выбранных точек 63

- выравнивания 42

- декомпозиции 419

Метод дополненного вектора 286

- золотого сечения 196

- исключения Гаусса, выбор главного элемента 130

---, обратный ход 129

---, прямой ход 129

- итерированного веса 64, 68

- касательных 143

- квадратного корня 135

- квадрирования 148

- линеаризации 143, 152, 263, 274

- ломаных 243

- малого параметра 242

- моментов 461

- наименьших квадратов 59, 224 ---, выбор весов 60

---, оптимальное число коэффициентов 60

- неопределенных коэффициентов 305



[0] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0149