Главная Численные методы при исследовании физических задач



Подставляя их в (28), получим разностную схему (16).

Метод неопределенных коэффициентов применим на косоугольных сетках. Например, при его помощи нетрудно составить пятиточечную схему для уравнения Ut = kUxx на треугольной сетке с шаблоном рис. 53:

2 {Уп + «/«-i) = + 2j {Уп-1 + Уп+i) + [-j2)yn- (29)

ЧТО на равномерной сетке л:„+1/2 - 1/2 = /г, получим разностную схему

~ (Уп - Уп) = д1 kn+ii2 (уп+1 - Уп) -L-i/2 (Уп - Ут)]- (27)

Если fe = const, то схема совпадает с неявной схемой (16).

Р1нтегро-интерполяционный метод особенно полезен для уравнений с негладкими иЛи разрывными коэффициентами, поскольку именно интегральная запись законов сохранения выделяет из всех математически допустимых решений таких уравнений физически правильное обобщенное решение.

Метод неопределенных коэффициентов заключается в том, что в качестве разностной схемы берут линейную комбинацию значений разностного решения в узлах шаблона. Коэффициенты этой линейной комбинации определяют из условия, чтобы невязка схемы имела как можно более высокий порядок малости относительно т и /г.

Например, для уравнения щ - кихх на шаблоне рис. 52 будем искать разностную схему в следующем виде:

ау«-1 + рУ„ + 7Уд+1 + §г/« = 0. (28)

Подставим сюда разложения (24), ограничиваясь для простоты членами О (т) и О {№), и вычтем схему (28) из исходного уравнения. Получим невязку (индекс п всюду опускаем)

т) = ы/ - kuxx - (а + Р + 7 + б) " + тб +

{a-y)hux-\{a у) hUxx + 6-0 (т) + (« - у) О (Л") + ...

Чтобы сократились выписанные здесь члены, надо положить a + p + Y + 6 = 0, тб = -1, а-7 = 0, 2

Отсюда находим коэффициенты:




Возможны случаи, когда часть коэффициентов схемы типа (28) определяют из условия наивысшего порядка малости невязки, а часть коэффициентов выбирают из других соображений.

Метод неопределейных коэффициентов (как и метод разностной аппроксимации) применим к уравнениям с непрерывными и достаточное число раз дифференцируемыми коэффициентами и решениями. Из-за сравнительной громоздкости он применяется реже двух ранее описанных методов.

Краевые условия. Остановимся на записи разностной схемы в нерегулярных узлах (на границе или вблизи нее). В этих узлах для записи разностных уравнений необходимо привлекать краевые условия.

Например, в разностных схемах (16) и (18) для уравнения теплопроводности щ = кихх нерегулярными являются граничные

узлы п = 0, n = N. Для первой краевой задачи

и {О, t) = ni(t), и {а, i) = H2{t)

в этих узлах нетрудно написать разностные уравнения (17):

"ТНГ Уо = М-1 (tm), yN = \>-2 (tm),

которые являются точными (их невязка равна нулю).

Более сложен случай второй краевой задачи для того же уравнения (дальше будем рассматривать только левое условие):

Ux{0, t) = Hi{t), Ux{a,i) = ii2{i). (30)

Можно аппроксимировать производную односторонней разностью:

X(l-o) = ll(m+l). (31)

Однако невязка этого разностного уравнения равна

0 = {йх)о -1 (Й1 - йо) = -1 их = О (/г), (32)

т. е. имеет меньший порядок малости, чем невязка (25) в регулярных узлах. Это приводит к понижению общей точности расчета.

Рассмотрим способы написания разностного краевого условия нормальной точности 0{h?). Сделаем это на примере явной схемы 18).

Способ фиктивных точек очень нагляден. Введем вне отрезка 0==£x=sca фиктивную точку X-i = Xo - h и будем считать исходное уравнение справедливым при X-i =sc х. Тогда разностное



уравнение (18) можно написать при п = 0:

4 (уо -Уо)= (у л - 2уо + й)-

Заменим в левом краевом условии (30) производную симметричной разностью:

Yht-y-i) = V-i {tm)-

Исключая из последних двух уравнений фиктивную точку, получим разностный аналог краевого условия:

\{У1 - Уо) = 11 (im) + "ll (Уо - Уо) • (33)

Заметим, что это уравнение содержит только одно значение с нового слоя г/о, т. е. оно явное.

Метод уменьшения невязки менее нагляден, но более универсален. Выразим и {xi, t) при помощи формулы Тейлора:

u{xi, t) = u{Xo, i) + hux(xo, t)huxx + ...

На основании краевого условия (30) положим Ux{Xo, t) = \ii{t), а из уравнения теплопроводности (15а) найдем ихх = Щ/к. Подставляя эти величины в формулу Тейлора, получим

и(х„ t) = u{x„ 0+%(0 + ~ii/ + ...

Заменяя здесь (уд - Уо)/т:, снова придем к краевому условию (33).

В последнем способе можно учесть большее число членов ряда Тейлора и получить краевые условия не только нормальной, но и повышенной точности.

5. Аппроксимация и ее порядок. Пусть имеется область G переменных x = {Xi, Хр} с границей Г и поставлена корректная задача для некоторого уравнения с граничными условиями:

Л ti(x)-/(x) = 0, xG, (34а)

Ru{x)-11{х) = 0, хеГ. (346)

Введем в области G + T сетку с шагом h, состоящую из множества внутренних (регулярных) узлов сол и множества граничных (нерегулярных) узлов v- Заменим задачу (34) в регулярных узлах разностным аналогом уравнения (34а):

Лйг/л(л:)-фл(х)=0, л: е Юл, (35а)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [101] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0194