Очевидно, из равномерной устойчивости по начальным данным следует обычная устойчивость по начальным данным (но не наоборот).

Признак равномерной устойчивости. Если Ау = = Л/,(/", то для равномерной устойчивости по начальным данным достаточно, чтобы при всех т выполнялось

lli/-y"lk(l-f Ст)у1-г/"11, T = W-m, Css=0. (48)

Доказательство. Условие (48) означает, что если на некотором слое имеется ошибка бг/, то при переходе на следующий слой бг/1 возрастает не более чем в (1 + Ст) е* раз. Для перехода от t* к t надо сделать m = {t - t*)l% шагов по времени; при этом ошибка возрастет не более чем в gCmx gC < <;е раз. Отсюда следует:

Щтту{1*)\\, К = ес<-», (49)

что и требовалось доказать.

Признак (48) мы будем часто использовать при доказательстве устойчивости конкретных схем.

Из (49) видно, что если константа С велика, то, хотя схема формально устойчива, фактическая ошибка может сильно возрастать в ходе расчета; в этом случае схема является слабо устойчивой. Очевидно, чем больше промежуток времени Т - to, на котором ищется решение, тем меньшая величина С обеспечивает хорошую устойчивость расчета. При Т->-со схема будет устойчивой, только если С=0.

Если точное решение задачи сильно возрастает или убывает с течением времени, то более интересна не абсолютная ошибка, а относительная ilf/(Oli/lli/(ОН- Можно классифицировать устойчивость по нарастанию относительной ошибки. Пусть, например, и {х, ~ ехр {С4). Тогда разностную схему, удовлетворяющую признаку (48), будем называть слабо устойчивой при ехр [(С -Со) (Г -/о)] > 1, хорошо устойчивой -в обратном случае и асимптотически устойчивой при Т -> со, если С Cq.

Для многослойных схем определение и признаки равномерной устойчивости по начальным данным имеют более сложный вид; мы не будем их рассматривать.

Теорема. Пусть двуслойная разностная схема Ау равномерно устойчива по начальным данным и такова, что если два разностных решения А1гУ=-ц> равны на некотором слое, у=у, то на следуюшем слое вьтолняется соотношение

\\у-уЩ\ат\\(р-(рЩ\, а = const. (50)

Тогда разностная схема устойчива по правой части.

Доказательство. Наряду с решением у рассмотрим решение у, соответствующее возмущенной правой части Af,y - q>; поскольку исследуется устойчивость только по правой части, то можно считать, что у {to) = У (to)-

Введем последовательность сеточных функций Wm(t), определенных при ttm-i следующими условиями:

Wm+i (tm) = Wm (tm), m=l, 2,

Л.г„ = Р ""V*- (51)

[ Ф при tm t.

Эти функции определены так, что Wm{t) = y{t) при t-xttm-Заметим, что в тех же обозначениях можно записать Wo{t} = у(t).

Сравним функции Wm(t) и Wm+i(t). На слое они совпадают по определению. Тогда из (50) и (51) следует, что

11 Wm+i (tm+i) - W„ {tm+г) КаТ ф - ф .

При ttm+i эти функции удовлстворяют разностной схеме с одной и той же правой частью ф, но с разными начальными данными на слое Поэтому в силу определения (47) на по-

следнем слое tjif будут выполняться неравенства

II Wm+l (tM) - Wm (Ы II II tWrn+i (m+l) " О»™ (/„+i) \\ от/С Ц ф - ф Ц.

Отсюда при помощи неравенства треугольника получим

Af- 1

II г/(/ж)-У Ы IK 2 \\Wm+AtM)-Wm(tM)\l т = 0

< ахМК II ф - ф II = а (tM - g К II Ф - Ф II,

т. е. имеет место устойчивость по правой части, что и требовалось доказать.

Следствие. Если неравенства (48) и (50) выполнены, то разностная схема устойчива и по начальным данным, и по правой части.

Замечание. Теорема была доказана для конечного промежутка времени. В бесконечной по t области, если выполнено условие (50), можно доказать следующие достаточные признаки устойчивости по правой части:

а) Если при переходе со слоя на слой ошибка начальных данных не возрастает (Cs=£0), то схема устойчива по возмущениям правой части с конечным суммарным импульсом

51бф(х, t)\dxdt<s.

б) Если при переходе со слоя на слой ошибка начальных данных убывает как (1 -Ст), С>0, то схема устойчива по отношению к постоянно действующим возмущениям 1 бф (х, О < е.

3. Принцип максимума. Есть несколько способов исследования устойчивости разностных схем: принцип максимума, метод

разделения переменных, метод операторных неравенств и некоторые другие. Сейчас мы рассмотрим принцип максимума, который применяют к уравнениям переноса, а также к параболическим и эллиптическим уравнениям. Он позволяет доказывать устойчивость в II • lie.

Сформулируем признак устойчивости явных и неявных двуслойных линейных разностных схем. Запишем двуслойную схему в следующем виде:

2 кУп+к = 2 1Упн + ф«, (52)

где суммирование на каждом слое производится по узлам шаблона около п-го узла. Коэффициенты перенумеруем так, чтобы ао I = max [ад 1. Тогда:

а) схема равномерно устойчива по начальным данным, если

(1-f Ст)ао> 2 + C = const. (53)

kibO 1

б) схема устойчива по правой части, если выполнено (53) и

ао-2 1*1=Т = const>0. (54)

Доказательство, а) Фиксируем правую часть (52) и внесем ошибку бг/ на исходном слое. Тогда ошибка б на новом-слое удовлетворяет уравнению

Отсюда для любого узла п следует неравенство

I«о I• iI2 \ к\-\Уп+кI + 21! I У"+1 !•

кфО I

Применим это неравенство к узлу п, в котором бя достигает своего максимума; при этом в правой части заменим б„. и бг/„+г их максимальными значениями, что только усилит неравенство. Тогда получим

1 аоImax \буп \ < шах б„ 2 \к\ + max бг/„ 1 .

б11с/ао- Ц а*0«гбг/,21РЛ-