Но в силу неравенства (53)

21РЛ(1+Ст)ао- s Ы{1+Сх)[\ао\- a*lv

I кфО \ кфй I

Поэтому

II бу,(1 + Ст) \\by\l,

т. е. выполнен признак (48). Первое утверждение доказано.

б) Зафиксируем в (52) решение на исходном слое и внесем погрешность в правую часть. Тогда погрешность решения на новом слое удовлетворяет уравнению

кЬуп+к = Ь(рп

Отсюда следует неравенство

ао I • I бг/„ i < 2 1°* I •! Уп+k I + I бф« .

Аналогично предыдущему, выберем узел П и заменим справа все величины их максимумами. Легко получим, что

l6llcfaoi- 2 аАП<11бф1с.

V кфО I

Отсюда с учетом (54) следует, что

II 6yll.<-J бф„

т. е. выполнено условие (50). Второе утверждение доказано.

Замечание 1. Доказательство непосредственно применимо к схемам с переменными (зависящими от х, t) коэффициентами. Его можно обобщить на некоторые квазилинейные схемы, в которых коэффициенты зависят от у.

Замечание 2. Краевые условия двуслойных линейных схем также имеют форму (52). Поэтому данный признак позволяет устанавливать устойчивость по краевым условиям.

Замечание 3. Принцип максимума дает достаточное условие устойчивости; невыполнение критериев (53) и (54) еще не означает неустойчивости схемы.

Изложенным методом обычно удается доказать устойчивость только схем точности 0(т), да и то не всех; для обоснования устойчивости схем более высокого порядка точности по т применяют другие методы.

Пример. Рассмотрим нестационарную краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом (15):

utkiixx + l, «(О, 0 = Pi(0, «(а, 0 = 12(0-

Запишем для нее неявную схему (16) -(17) на равномерной сетке: (Уп-Уп) =(я+1-2„ + «-1) + фя. 1<л<Л/-1,

Переписывая эту схему в форме (52), получим

ао = 4 + Ж «-1 = <1 = -р-. Po = Y при l<n<iV-l;

cio = l Ро==0 при п = 0 и п = Л;

остальные коэффициенты равны нулю. Видно, что при любых соотношениях шагов по и л; условие (54) выполнено в регулярных узлах, а условие (53) -во всех узлах сетки. Следовательно, схема безусловно устойчива по начальным данным, правой части й краевым условиям.

Для эллиптических уравнений- обычно дается другая формулировка принципа максимума. Кроме того, для нестационарных задач имеется ряд модификаций принципа максимума: метод роста единичной ошибки, метод индекса разностной схемы и т. д. Мы их рассматривать не будем.

4. Метод разделения переменных. Этот метод применяется для строгого обоснования многих линейных схем и нестрогого, но плодотворного исследования большинства нелинейных задач, возникающих в практике вычислений. При его помощи устанавливается устойчивость в II •

Рассмотрим применение метода к линейным двуслойным схемам, записанным в канонической форме:

Б+Лу-ф, (55)

где В, А - некоторые разностные операторы, действующие на у (или у) как функцию пространственной переменной. Например, для явной схемы (18) имеем

В = Е, Ауп = - ~ (у п+1 - 2уп + Уп-i)

При фиксированной правой части погрешность решения удовлетворяет однородному уравнению

ВЬу = {В-хА)Ьу. (56)

Будем искать для этого уравнения частное решение с разделяющимися переменными

бу (х„, t) = ре">\ с/ = О, ± 1, ± 2, ... (57)

При этом 8у = рд8у, так что есть множитель роста q-u гармоники при переходе со слоя на слой. Подставляя (57) в (56),

получим уравнение для определения р:

РдВеч = (б - хА) ёч". (58)

Будем считать, что схема (55) имеет постоянные коэффициенты и задана на равномерной сетке. Тогда уравнение (58) после сокращения множителя ехр (iqx) не будет зависеть от координаты X (или ее индекса ri). Следовательно, величина не будет зависеть от х или t.

Признак устойчивости. Схема (55) с постоянными коэффициентами устойчива по начальным данным, если для всех q выполняется неравенство

IPjIssI + Ct, с = const. (59)

Доказательство. Система функций е-* (OsgqsgA/-1) полна и ортогональна на равномерной сетке {Хп, ОnN}. Разложим произвольную ошибку начальных данных бу{х, t) в ряд Фурье по этой системе (см. гл. П, § 2, п. 4):

8у{х„, g = "2

4 = 0

Поскольку для линейного уравнения (55) справедлив принцип суперпозиции, то метод разделения переменных дает для ошибки на слое следующее выражение:

Используя ортогональность гармоник, получаем отсюда

N-1

\l8y{tm)\\l = N 2 \9я\""\я\

< max I p, r /V 2 I = max I p, Г li Щ.

Ч q = 0 Я

При помощи условия (59) преобразуем это неравенство к виду

II byiU г,(1 + Ст)" \\y{U)\\u,

что совпадает с признаком (48). Утверждение доказано.

Замечание 1. Из признака устойчивости (59) и дополнительного условия (54) следует устойчивость схемы по правой части в II 11/,.

Замечание 2. Фактически константа С в (59) не должна быть большой, иначе устойчивость будет слабой (см. п. 2). Поэтому при проверке этого признака обычно полагают С==0.