Главная Численные методы при исследовании физических задач



Дальше мы увидим, что схемы (9) и (10) можно объединить в единую явно-неявную схему, безусловно устойчивую и превосходящую схему (11) по точности.

3. Геометрическая интерпретация устойчивости. Ограничимся устойчивостью по начальным данным. Рассмотрим однородное уравнение (3) с / (х, t) ~ О, общее решение которого имеет вид и{х, t) = (р (х - ct), т. е. переносится по характеристикам x - ct = const без изменения.

Рассмотрим схему (9) с шаблоном, изображенным на рис. 60 (см. также рис. 56). Построим ха- Рис. 60. рактеристику, проходящую

через искомый узел (х„, tm+i); она обозначена стрелкой на рис. 60. Эта характеристика пересекает исходный слой в точке Х - Хп - сх. Схему (9) без правой части можно интерпретировать следующим образом. Линейно интерполируя разностное решение между узлами исходного слоя, найдем



х„ - х

-Уп-

-yn-r-V[l-~)y.. (21)

Затем найденное значение перенесем без изменения по характеристике в искомый узел, т. е. положим Уп = у(х).

Если выполнено условие устойчивости схемы ст s; h, то x-i sx<CXn; в противном случае x<x„i. Иными словами, схема (9) устойчива, если Уп вычисляется по ранее найденным значениям у при помощи интерполяции (рис. 60, а); схема неустойчива, если используется экстраполяция (рис. 60, б).

Причина этого состоит в том, что при точной постановке задачи в узел {х„, /+1) приходят возмущения только из точки X исходного слоя tm- Если точка X лежит вне отрезка [x„ i, л:„], то, сохраняя непрерывность и гладкость решения, можно сильно изменить его на этом отрезке (на слое tm), не меняя значения и{х, tm). Значение ы„ = «(х, tm) при этом сохраняется, а значение Уп сильно изменяется, поскольку оно вычисляется по изменившимся значениям г/„, уу. Значит, у не может сходиться к ы„.

Схемы (10) и (И) тоже можно интерпретировать как линейную интерполяцию по двум уже вычисленным значениям, с последующим переносом по характеристике. В частности, безусловная устойчивость схемы (11) связана с тем, что приходящая в искомый узел характеристика (стрелка на рис. 61) при любых т и /г пересекает отрезок, соединяющий исходные узлы (пунктир на рисунке).

Рис. 61.



В противном случае воспользуемся схемой (10):

Т-(Уп1-Уп~1) + Г-{Уп-Упл)==(рп при C„Xm>h„j. (226)

Очевидно, явно-неявная схема (22) безусловно устойчива, причем ее невязка меньше, чем у безусловно устойчивой схемы (11). Схему (22) обычно применяют в тех случаях, когда точное решение является недостаточно гладким или быстропеременным.

Схема без шаблона. Проведем через искомый узел (Хп, tm+i) характеристику и определим точку ее пересечения с исходным слоем х = Хп - сг. Найдем на исходном слое такую пару узлов Хр, Xpi, между которыми заключена точка х. Определим у (х) линейной интерполяцией по значениям Ур, Ур-х.

У{х)1-\1 Ур+/ 1" Ур+1, Хрх<Хр1. (23)

Перенесем вычисленное значение по характеристике в искомый узел, т. е. положим Уп = у(х). Очевидно, схема (23) абсолютно устойчива; но по точности и удобству вычислений она уступает схеме (22) и поэтому редко применяется.

В схеме (23) положение узлов р, p+l относительно узла п не фиксировано. Если скорость с{х, t) переменна или сетка Хп неравномерна, то п - р будет непостоянной величиной. Таким образом, эта схема не имеет шаблона.

Схема (12) интерпретируется тоже как интерполяция, но не двухточечная линейная, а трехточечная квадратичная (что, естественно, приводит к более высокому порядку точности). Какую бы сторону ячейки на рис. 59 ни пересекала приходящая в узел (Хп, im-n) характеристика - горизонтальную или вертикальную, эта сторона связывает узлы с ранее Вычисленными значениями у; поэтому экстраполяции здесь нет, что приводит к безусловной устойчивости схемы (12).

Таким образом, прослеживая положение характеристик, нетрудно так выбрать шаблон и составить на нем разностную схему, чтобы схема была устойчива. Приведем несколько примеров.

Явно-неявная схема. Будем считать, что шаги по времени = t+i - tm и по пространству /г„ = Xn+i - л:„ не постоянны, а коэффициент с{х, t) уравнения (3) переменный. Приступая к вычислению у„, проверим критерий Куранта (14) в данной ячейке. Если он выполнен, то проведем вычисления по схеме (9):

-Т-(Уг-Уп) + (Уп-Уп i) = 4>n при с„Ти/г„ 1. (22а)



Рис. 62.

Случай с<0. В этом случае наклон характеристик на плоскости (х, t) отрицателен; характеристики зеркально отражены относительно вертикали по сравнению со случаем с > 0. Соответственно меняется постановка задачи: для отрезка Ocxsa граничное условие теперь должно задаваться справа, при х = а.

Очевидно, шаблоны для устойчивых схем можно получить зеркальным отражением соответствующих шаблонов рис. 56-59. Например, вместо шаблона рис. 56 берут шаблон рис. 62, получая устойчивую при \c\xJi схему. Направление бегущего счета также меняется: расчет на каждом слое ведут справа налево.

Отметим, что шаблоны рис. 57 и 58 зеркальны друг другу; это означает, что при с<0 схема (10) становится безусловно устойчивой, а схема (И) -условно устойчивой. Симметричная схема (12) не меняется при отражении, так что она устойчива при любом знаке скорости; но направление счета, разумеется, зависит от знака скорости.

Знакопеременная с{х, t). В этом случае задача в области G {х, t) поставлена корректно, если заданы значения решения на тех и только тех границах, с которых характеристики идут внутрь области.

Пусть, например, скорость с {х, f) непрерывна в области G = [О i=c д; а] x [О ss; i 7"] и меняет знак только при х = х,

причем с (О, 0>0, с (а, t)<.<d. Вид характеристик в этом случае изображен на рис. 63. Корректной будет постановка задачи с двумя граничными условиями:


щ-\-с{х, t) Ux = f(X, t), и{х, 0) = pi(x),

и (О, 0 = Р2(0,

и {а, 0 = 13(0-

(24)

Фактически здесь имеется зона влияния каждой границы; эти зоны разделены линией х = х (пунктир на рисунке). В каждой зоне можно построить схему бегущего счета со своим направлен нием движения.

Можно поступить и иначе. Возьмем шаблон рис. 64 и построим на нем неявную схему

i-iyn~yn) + ~iy..,-h-i) = n, lnN-l. (25)

По направлению характеристики (стрелки на рисунке) видно,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 [113] 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0174