Главная Численные методы при исследовании физических задач



1+Ьт

Если выполнено условие Куранта ст ==s; h, то для любых гармоник справедливо неравенство ] (1+Ьт)" <; 1, так что схема (32) не только устойчива, но и хорошо обусловлена: ошибки не нарастают, а неограниченно убывают при t-oo. Для схемы (33) множитель роста

р,= 1-(1-е-)-&т.

Если положить ст = h, то для гармоники с ехр (- iqh) = - 1 выполняется соотношение Ip = 1 + Ьт, т. е. устойчивость слабая. Таким образом, характер устойчивости схем (32) и (33) является не вполне одинаковым.

Это различие проявляется сильней, если рассмотреть асимптотическую устойчивость схем (соответствующую поведению относительной погрешности II 11/11 и II при i-voo). Точное решение убывает, как е-* так что его гармоники за один шаг затухают, как e"" (1 + bxy. Гармоники схемы (32) затухают не медленнее, так что схема (32) асимптотически устойчива при cxsh. Наоборот, у схемы (33) при cx = h нет асимптотической устойчивости: гармоника с ехр(-/9) = -1 не только не убывает, а даже возрастает.

Этот пример показывает, что на устойчивость может влиять способ аппроксимации не только высших производных данного уравнения, но и всех остальных членов.

Замечание. Общее решение (31) положительно, если начальные данные были положительны. Нетрудно показать, что схема (32) сохраняет это свойство общего решения. Если же схему (33) переписать в форме

Дальше мы ограничимся случаем Ь>0, когда точное решение экспоненциально убывает со временем. Рассмотрим два варианта явной схемы (9):

4 (Уп - Уп) + J {Уп - Уп-l) = - Ьуп, (32)

(Уп- Уп) +1- (Уп - Уп-i) = - Ьуп, (33)

отличающиеся только аппроксимацией члена с поглощением. Обе схемы имеют первый порядок аппроксимации. Исследуем их устойчивость методом разделения переменных.

Делая стандартную подстановку гармоники ехр (iqx), получим для схемы (32) множитель роста

l-~-(l-e~)



ТО нетрудно видеть, что при достаточно большом коэффициенте Ь>0 (и не слишком малом шаге т) возможны случаи, когда у„ становится отрицательным при у„, г/„ 1>0. Фактически это приводит к дополнительному ограничению на шаг т схемы (33). В задачах с сильным поглощением это ограничение, формально не связанное с устойчивостью, может оказаться достаточно жестким.

6. Монотонность схем. В п. 1 отмечалось, что решение однородного уравнения переноса (3), соответствующее монотонным начальным данным, в любой момент времени имеет монотонный профиль. Сохраняется ли это свойство у разностного решения? Иными словами, пусть профиль у„ монотонен; будет ли монотонным профиль Уп?

Однородные разностные схемы, сохраняющие монотонность профиля разностного решения, называются монотонными.

Признак монотонности. Двная двуслойная линейная однородная схема

Уп = Т>1Упн (34)

монотонна тогда и только тогда, когда все P/SsO. Доказательство. Из (34) следует равенство

У п-1 - Р« = 2 {Уп-1н - Уп+д- (35)

Если профиль Уп монотонен (для определенности-невозрастающий), то все скобки в правой части (35) неотрицательны. Тогда, если все f>i5sO, то у п-1 - У п и профиль уп также невозрастающий. Достаточность условия доказана.

Предположим, что хотя бы один коэффициент Р; <;0. Выберем такой невозрастающий профиль:

г/„+г=1 при /-1, г/„н = 0 при lk. Подставляя его в (35), получим

У п-1 -yn = t>k {Уп-1+k - Уп+к) = Pft < О,

т. е. монотонность нарушена: имеется локальное возрастание профиля Уп- Необходимость условия Рг5гО доказана.

Замечание 1. Признак монотонности относится к разностным схемам, аппроксимирующим как уравнение переноса, так и любые другие типы уравнений.

Замечание 2. Если двуслойная линейная однородная схема неявна, то ее можно преобразовать к явной форме (34), где пре-



/ ст 1 \2 1

- 4-

2 4

В правой части этого равенства стоит неотрицательная величина. Но левая часть при не целом cx/h в одной из точек x„ отрицательна. Полученное противоречие доказывает теорему.

Следствие. Линейные монотонные схемы для уравнения переноса могут иметь только первый порядок точности.

Примеры. Схема (9) явная, и при выполнении условия устойчивости cxh ее коэффициенты неотрицательны. Следовательно, она монотонна.

Безусловно устойчивая схема (11) неявная. Запишем ее в следующем виде:

У" = /нЬ? (Уп 1 + hyn). (38)

Уменьшая индексы на единицу, получим выражение у„-,у через Уп-2. Подставим его в правую часть (38). Продолжая процедуру

делы суммы по / бесконечны, и затем применить признак монотонности.

Теорема. Двуслойная линейная монотонная схема для уравнения переноса щ + с«д; = О не может иметь второй или более высокий порядок точности.

Доказательство. Предположим, что имеется линейная монотонная схема второго (или более высокого) порядка точности. Запишем ее в форме (34), где все Р/О. Построим равномерную сетку Xn = nh.

Выберем в качестве начальных данных задачи Коши квадратичную функцию

м(х, 0) = (--i)-l, г/ = (я- ij->=0. (36)

В этом случае решение есть также квадратичная функция и его третьи производные равны нулю. Невязка схем второго порядка точности выражается через третьи производные. Поэтому при квадратичных начальных данных (36) разностное решение для нашей схемы должно совпадать с точным решением.

На первом слое точное и разностное решения равны соответственно

, , fx-CX 1 \2 1 . / СХ 1\2 1

и(х, т) = (---j -4, ----j (37)

Подставляя разностные решения на исходном (36) и новом (37) слоях в разностную схему (34), получим равенство



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 [115] 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0214