Обычно в этих случаях разностное решение тоже имеет сглаженный вид.

Наоборот, если уравнение (41) является недиссипативным, например чисто колебательным, то разрывы его решений не сглаживаются. В разностном решении при этом легко возникает слабо затухающая (или совсем не затухающая) «разболтка».

Примеры. Рассмотрим однородную разностную схему (9), полагая / = ф = 0. Ее невязка (13) принимает вид 1з = = {chuxx - xutt)l2. Учитывая, что для однородного уравнения переноса (3) выполняется условие иц = сихх, преобразуем невязку к виду - = 0 {h - cx) Uxxl2. Отсюда легко получить первое дифференциальное приближение разностной схемы (9):

Ut = {h- сх) Uxx - cux. (42)

Если сх<аН, то уравнение (42) относится к параболическому типу. Действительно, выше было показано, что расчет по разностной схеме (9) приводит к сглаживанию разрывов (если

СТ</2).

Случай cx>h для уравнения (42) соответствует обратной задаче теплопроводности, которая относится к некорректно поставленным задачам. С этим обстоятельством связана неустойчивость схемы (9) при нарушении условия Куранта.

Рассмотрим однородную разностную схему (12). Если учесть, что для однородного уравнения переноса выполняется соотношение

Шп = - CUttx = C4txx = - CUxxx,

ТО главный член невязки (17) этой схемы принимает вид г; = = с (/г -сЧ) и„д/12. Следовательно, ее первым дифференциальным приближением является уравнение

щ + сих-У{Ь?-сН)иххх = 0, (43)

которое не содержит диссипативных членов. Действительно, из рис. 68 было видно, что схема (12) не сглаживает разрывы решения.

Если разностная схема обладает аппроксимационной вязкостью или ее первое дифференциальное приближение является уравнением с диссипативными членами, то схему называют диссипатив-ной. Обычно в расчетах по таким схемам разболтки не возникает или она невелика; поэтому понятие диссипативности плодотворно используется при качественном анализе разностных схем. Однако это понятие не является строгим, и полученные при его помощи выводы надо проверять другими методами.

§ 2s Квазилинейное уравнение

1. Сильные и слабые разрывы. Решение линейного уравнения переноса может иметь разрывы только в том случае, если они содержатся в начальных или граничных данных. В квазилинейном уравнении даже при непрерывных и достаточно гладких начальных данных могут возникать разрывы решения. Характер этих разрывов удобно исследовать на простейшем квазилинейном уравнении переноса

ди , ди „

X, t, и>0,

(44)

Рис. 69.

которым мы и ограничимся в данном параграфе. Оно напоминает линейное уравнение переноса, в котором роль скорости переноса играет величина самого решения и{х, t).

Подная постановка задачи при знакопеременной скорости сложна; мы рассмотрим только наиболее важный случай и>0.

Тогда начальные и граничные значения решения, заданные на положительных полуосях координат х, t, определяют решение в первом квадранте. Эти значения переносятся по характеристикам х~ - « = const. Рассмотрим характер решения при четырех основных типах начальных данных.

Первый случай. Начальные и краевые значения - непрерывные функции, причем и [х, 0) монотонно не убывает, и (О, ;) монотонно не возрастает и они непрерывно согласованы в начале координат.

Наклон (тангенс угла наклона) характеристик в каждой точке плоскости (х, /) равен 1/ы (х, /). В данном случае наклон монотонно и непрерывно убывает слева направо. Поэтому первый квадрант всюду плотно покрыт характеристиками (рис. 69), причем через каждую его точку проходит одна и только одна характеристика. Эта характеристика переносит в данную точку граничное значение. Решение однозначно определено и непрерывно во всем первом квадранте. Если краевые значения гладки (и согласованы в начале координат), то решение также будет гладким.

Второй случай. Краевые значения монотонны указанным выше образом, но имеют разрывы. Для простоты положим и (О, t) - a, и(х, 0)=а при х<СХо, и{х, 0) = Ь>а при х>Хо, так что разрыв не нарушает предыдущее условие монотонности.

Левее разрыва характеристики на плоскости (х, t) имеют наклон 1/а, а правее разрыва - меньший наклон 1/Ь (рис. 70, а).

Проведем обе характеристики из точки разрыва начальных данных; на рисунке они показаны жирными стрелками. Левее левой и правее правой из них через каждую точку плоскости проходит одна и только одна характеристика, т. е. решение определено и единственно. А между ними нет ни одной характеристики и решение не определено.

Потребуем корректности задачи, т. е. устойчивости решения относительно бесконечно малых возмущений начальных данных. Это позволит нам доопределить решение. Сгладим разрыв начальных данных, заменив его непрерывным монотонным переходом на бесконечно узком интервале. Тогда в пустом угле появится «веер» характеристик и наклон каждой характеристики определит значение решения на ней (рис. 70, б).

Рис. 70.

Легко видеть, что доопределенное решение будет иметь следующий вид:

и (х, t)=a при x - Xqat,

и(х, t) = {x - Xo)/t при at: и {х, t) = b при bt

(45)

-X - Xi,

Поэтому оно непрерывно на всей плоскости, кроме точки х = Хо, = 0. Значит, такой разрыв начальных данных сглаживается со временем. Но след разрыва остается: на жирных характеристиках производные решения будут разрывны. Во всех остальных точках решение будет гладким, если начальные данные были гладкими.

Разрыв производных называют слабым разрывом решения. Слабые разрывы квазилинейного уравнения переноса распространяются по характеристикам, как и в линейном уравнении переноса.

Третий случай. Пусть нарушено данное выше условие монотонности. Опять положим и{х, 0) = а при х<,Ха, и{х, 0) = = & при x>Xq, но теперь потребуем, чтобы а>Ь>0. Тогда характеристики будут иметь вид, изображенный на рис. 71.