*) Для обозначения середины временного шага будем часто употреблять запись F{x, t+x/2) = F (х).

Таким образом, при аО решение разностной схемы (6) существует и единственно при любых ограниченных начальных и краевых данных и правой части. Это решение легко вычисляется, причем за небольшое число действий.

Замечание 1. При а = 1 схема (6) использует только четыре точки шаблона и называется чисто неявной. При а =1/2 схему называют схемой с полусуммой или симметричной (имеется в виду симметрия по времени, ибо схема (6) симметрична по пространству при любом а).

Аппроксимация. Разложим решение в узлах шаблона рис. 76 по формуле Тейлора, выбирая за центр разложения точку {Хп, 4-т/2)*). Тогда получим

"«+1=2 i{ii + hi)ti = u+u, + hux + rh T°h

+ -4- Utxx + -Q- Чххх + Щш Л-48" Utttx +

I I 1 I iu\

--Гб~ I" T2~ "24 Uxxxx + • • • I \o)

где все производные отнесены к центру разложения. Разложение для йп~1 получается из (8) изменением знака h, разложение для - изменением знака т; для определения й„ надо в (8) положить /г = 0 и т. д. Подставляя эти разложения в выражение невязки схемы (6а), получим

il;„ = {ut - kUxx - f&l - Y (й„ - Un) +

+ % - 2йп + u„,i) + - 2un + Unn) + Ф« =

==kx(a- - Щхх + -у {kUitxx - у +

+ Uxxxx + 9n-Jn + 0ix + h). (9)

Отсюда видно, что если положить (pnJn f in, t-\-x/2), то при а#/2 схема (6) имеет аппроксимацию 0{x-\-h); симметричная схема с 0 = V2 имеет более хорошую аппроксимацию 0{x + h).

Надо проверить аппроксимацию не только уравнения, но и начальных и краевых условий. Начальное условие (16) и краевые условия первого рода (2) мы аппроксимировали точно, положив

уп = \{Хп), yir = Pi(ra). yN = \i%{tm)- Аппроксимация краевых условий второго или третьего рода уже не была бы точной, а содержала бы некоторую погрешность, как это отмечалось в главе IX.

Замечание 2. Для fe = const за счет специального выбора веса и правой части можно построить схемы повышенной точности. Для решения и{х, f) дифференциального уравнения (1а) справедливо соотношение

Щхх - Щ = kUxxxx + fxx-

Подставляя его в (9), преобразуем невязку:

Чхххх "4"

Если положить

kx(a~-]fxx-{-4>n-fn

+ o(x-h% (10)

12*т • чл-;-Г12

то обе квадратные скобки в (10) обратятся в нуль и погрешность аппроксимации схемы (6), (11) будет равной О (x)-{-o{ff). Удерживая в формуле Тейлора (8) большее число членов, можно показать, что невязка (10) при этом равна ф„ = 0 (x + Zi*)-

Замечание 3. Можно заменить fx в (11) второй пространственной разностью, получая следующее выражение для правой части:

9« = l2/«-i+-g-/« + i2/n+i- (12)

Этот вариант схемы повышенной точности имеет аппроксимацию также О (x-f/г«).

Замечание 4. Приведенные оценки аппроксимации справедливы, если непрерывны те производные решения и (х, t), которые входят в выражение главного члена невязки.

Устойчивость. Исследуем устойчивость по начальным данным методом разделения переменных. Поскольку схема (6) линейна, то для этого достаточно положить в ней ф„ = 0 и сделать стандартную подстановку Уп = ехр (inqxjd), у„ = РдХ хехр (ingXn/a). Тогда легко получить множитель роста гармоники

l-(l-a)sinil/(l4-asini). (13)

Л2 2а

обеим переменным

Он вещественный, причем при любом ст О справедливо неравенство = 1. Следовательно, схема (6) устойчива, если при любом q выполняется условие-1 р,. Нетрудно проверить, что это справедливо при

Последнее неравенство является условием равномерной устойчивости схемы (6) по начальным данным (в IHJ/J.

Примененный здесь простейший вариант метода резделения переменных не является строгим. Однако для схемы на равномерной сетке (6) нетрудно проверить, что функции

(«„) = sin {nqXn/a), 1 sS g sS - 1, x„ = nh, (15)

являются собственными функциями разностной задачи Штурма - Лиувилля для (6). Соответствующие им собственные значения имеют вид (13), причем qsS:N - 1. При их помощи можно получить строгое необходимое и достаточное условие устойчивости, практически не отличающееся от (14).

Дополнительное условие устойчивости по правой части (9.54), как легко видеть из (6), выполняется при любых т и /г. Следовательно, схема устойчива по правой части, если выполнено условие (14) равномерной устойчивости по начальным данным.

Для чисто неявной схемы, симметричной схемы и схемы повышенной точности условие (14) выполняется при любом соотношении шагов т и /г; таким образом, эти схемы безусловно устойчивы. Для явной схемы условие (14) выполняется только при хЬКЩ, т. е. схема условно устойчива, что мы уже установили в главе IX.

Замечание 5. Справедливо более сильное утверждение: все эти схемы устойчивы в Ц. В общем случае для доказательства этого утверждения приходится применять более сложную технику. Однако из принципа максимума нетрудно получить достаточное условие устойчивости в норме -]с:

(16)

Оно более жестко, чем условие (14), но в случае явной и чисто неявной схем из него следует сделанное выше утверждение.

Сходимость. Из сказанного выше следует, что на решениях и{х, t), имеющих достаточное число непрерывных производных, семейство схем (6) с весом Osgal обеспечивает равномерную сходимость при выполнении условия устойчивости (14).

Для схем с аФЧ погрешность \y - u\c = 0(x-\-hP), т. е. схемы имеют первый порядок точности по времени и второй - по пространству. Для симметричной схемы (0 = /2) погрешность равна 0{x-\-h), т. е. порядок точности по обеим