Главная Численные методы при исследовании физических задач



При афО запишем неявную схему (6), полагая ф„ = 0 и выделяя преобладающий член на новом слое:

kxaj

Уп-1 + Уп+1-

(Уп-1 + Уп+1) +

(22)

Напишем для у„у и „ аналогичные выражения и подставим их в правую часть (22). При этом появятся другие значения с нового слоя; будем их исключать тем же способом. Коэффициенты при значениях уп±1 на новом слое в правой части будут при этом убывать в геометрической прогрессии. Поэтому в пределе соотношение (22) перейдет в явную схему вида (10.34) с бесконечной суммой, т. е. с бесконечной зоной влияния. Очевидно, если выполнено условие

2k (1-а)

(23)

то все коэффициенты в (22) неотрицательны. Тогда все коэффициенты в соответствующей явной схеме также будут неотрицательны. Следовательно,, неравенство (23) есть достаточное условие -монотонности схемы (6).

Можно получить необходимое и достаточное условие монотонности, приведя схему (22) после выполнения громоздких выкладок к явной форме (10.34):

Уп = РоУд + 2] Р/ {Уп-1 + Уп+l),

/= 1

уУ¥ТШх.

Р/ = Р.~1(ЩГ при 12,

(24а)

(246)

Очевидно, Р/0 при /5=1 и отрицательным может быть только коэффициент Ро- Он неотрицателен, если

, (2-a)h Чй(1-а)2-

(25)

Это условие необходимо и достаточно для монотонности схемы (6); оно несколько слабее ограничения (23).

Таким образом, неявные схемы монотонны только при очень малом шаге по времени xh. По абсолютно устойчивым неявным схемам расчеты обычно проводят с шагом t~/i, не гаран-



тирующим МОНОТОННОСТИ. Единственное исключение - чисто неявная схема с 0=1, которая монотонна при любых шагах.

Напомним, что достаточно гладкое решение на подробных сетках можно хорошо находить и по немонотонным схемам. На грубых же сетках, особенно при разрывных начальных данных, симметричная схема может привести к «разболтке» счета. Чисто неявная схема даже в этих условиях дает плавно меняющееся разностное решение, хотя точность его невысока.

Замечание. Монотонные схемы для параболического уравнения могут иметь второй порядок точности по пространству. Но, как и для уравнения переноса, для параболического уравнения не известно ни одной монотонной схемы, которая имела бы второй порядок точности по времени (хотя никаких теорем о невозможности построения таких схем не доказано).

5. Явные схемы. Явные схемы имеют важное достоинство: они просто записываются и легко программируются на ЭВМ. Поэтому предпринималось много попыток построить для параболического уравнения ut = kuxx + f хорошую явную схему. Однако все эти попытки были неудачными.

Например, Ричардсоном была предложена трехслойная схема, использующая шаблон рис. 77 с аппроксимацией производных двусторонними разностями:

1 А V k

(Уп - yn)=j2. («-1 - Уп + + /«• (26)

Из симметрии схемы легко усмотреть, что локальная погрешность ее аппроксимации есть 0(z-{-h). Однако схема Ричардсона непригодна для расчетов, ибо она безусловно неустойчива. В самом деле, используем метод разделения переменных и сде-0 лаем подстановку Уд = ехр (iqx„),, 1/„ = ру„; поскольку схема трехслойна, надо дополнительно положить Уп - {19я)Уп-Тогда для множителя роста получим квадратное уравнение

Рис.77; p + Jp.sinf-l-O, (27)

один из корней которого при любом q фй по модулю больше единицы на величину О {k%l№).

Дюфорт и Франкел в 1953 г. видоизменили схему Ричардсона, заменив в правой части (26) величину j/„ на (1/л + Ул)/2:

(Уп - Уп) = (уп-1 - Уп-Уп + Уп+i) +fn- (28)

Эта схема также явно разрешается относительно Методом разделения переменных нетрудно показать, что она безусловна устойчива. Однако погрешность аппроксимации схемы (28) равна О (r + A-f т/Л), т. е. аппроксимация условная. Поэтому сходимость имеет место, только если (т/Л)-»-О при Л->-0.

Фактически, чтобы в расчетах по схеме (28) получить точность О (Л), надо положить ki~~h~, как в явной схеме (6). Правда, коэффициент пропорциональности a = (kv/h) можно брать любым, ибо его величина влияет только на



длиной rh (рис. 78). Тогда

точность расчета, а не на устойчивость. Поэтому схема Дюфорта-Франкела удобнее явной схемы (6), но ненамного.

Плохие качества явных схем обусловлены одним принципиальным ограничением: явная схема для параболического уравнения может сходиться, только если {х/Н)-0 при ft-vO. В самом деле, пусть решение в точке нового слоя выражается через г точек исходного слоя, т. е. через отрезок оно выражается через отрезок нулевого слоя длиной mrh = rth/x; этот отрезок будет зоной влияния. Для точного решения зона влияния бесконечна. Значит, сходимость к точному решению при Н-О возможна, только если дополнительно (rth/x) оо, т. е. (t i)-0, что и требовалось доказать.

Этот результат можно уточнить. В п. 1 отмечалось, что для промежутка времени т эффективной зоной влияния является отрезок hykx. Следовательно, условие сходимости явных схем должно иметь вид kx-<h.

Поэтому для параболического уравнения неявные безусловно устойчивые схемы дают лучшие результаты, чем явные.

Отметим одну любопытную схему для уравнения теплопроводности - схему бегущего счета на шаблоне рис. 79. На четных слоях счет идет слева направо (рис. 79, а) по формулам

Рис. 78.

\ {Уп - Уп) = (уп-1 - Уп - Уп + L+i) + /

(29а)

а на нечетных слоях-ванным формулам

-справа налево (рис. 79, б) по симметрично преобразо-

-(Уп-

-Уп)=-/(Уп-1~Уп - Уп + Уп+1)+ [хп, +"2

(296)

Организация расчета здесь так же проста, как в явных схемах. В то же время зона влияния бесконечна благодаря наличию двух точек верхнего слоя в каждом уравнении (29); поочередная смена направления расчета обеспечивает бесконечность зоны влияния в обоих направлениях.

Методом разделения переменных нетрудно проверить, что схема (29) безусловно устойчива. Невязка каждого из уравнений (29а) и (296), вычисленная разложением относительно центров, показанных на шаблонах рис. 79 крестиками, есть О (т-+т/1 + /1 + т/Л). Если бы расчет производился только по одному из этих уравнении, т. е. использовалась бы односторонняя схема бегущего счета, то именно таким был бы порядок точности.

Однако при сложении погрешностей прямого и обратного хода на последовательных слоях происходит их частичная компенсация. Поэтому двусто-

Рис. 79.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 [125] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0335