Главная Численные методы при исследовании физических задач



ронняя схема бегущего счета (29), как показывает более детальный анализ, сходится со скоростью

0(t2 + A2.+ tVA). (30)

Тем самым, она по своим свойствам близка к схеме Дюфорта -Франкела (28).

6. Наилучшая схема. Рассмотрим, как следует обобщать схему (6) на уравнение теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности, которое имеет следующий вид:

д дх

k(x, Oi- +f(x, t).

(31)


Случай непрерывных и /ладких коэффициентов несложен, и отдельно мы его разбирать не будем. Исследуем более общий случай, когда k{x, t) и f{x, - кусочно-непрерывные функции.

Разрывы коэффициентов уравнения (31) возникают, например, на границах областей в задачах для слоистых сред или на ударных волнах в движущейся среде. В точках разрыва коэффициентов решение

и {х, f) будет иметь особенности, т. е. оно -e+r будет обобщенным и, вообще говоря, не единственным.

Для выделения допустимого решения из множества обобщенных решений надо выяснить, какие величины всюду непрерывны, согласно физическому смыслу задачи. Для теплопроводности, как уже отмечалось в главе VIII, § 2, п. 7, непрерывны температура и {х, t) и поток тепла

W = - k{duldx).

Заметим, что производные этих величии разрывны; Ux имеет разрывы в точках разрыва k{x, /), а Wx разрывна в точках разрыва f{x, t).

Чтобы получить сходимость к допустимому обобщенному решению, составим методом баланса консервативную разностную схему.

Уравнение (31) записано в дивергентной форме, соответствующей закону сохранения энергии. Удобнее заменить его системой уравнений

Рис. 80.

ди dW ,f

ди дх

(32)

Выберем шаблон и связанную с ним ячейку (рис. 80) и запишем первое уравнение (32) в виде закона сохранения энергии для



этой ячейки: \ {u - u)dx~

"п- 1/2

/+т г + т*пЧ-1/2

= n«-/2-"+/2)rf+ \ f(x,t)dxdf. (33а)

t >п-\12

Второе уравнение (32) проинтегрируем по интервалу сетки:

k{x, t)

(336)

Справедливость формулы (336) очевидна; если коэффициент k (х, t) непрерывен на интервале сетки; но благодаря аддитивности интегрирования формула остается справедливой при наличии разрывов k(x, t) внутри [Хп,

Припишем значения температуры узлам сетки, а значения тепловых потоков -серединам интервалов (крестики на рис. 80). Аппроксимируем интегралы в (33) квадратурными формулами. При этом \ W dt вычислим по двухточечной формуле с весом ст на верхнем слое, а в (336) вынесем среднее значение потока за знак интеграла:

Un+i-Un-Wn+i/2 ]

k(x, ty

что допустимо в силу непрерывности потока. Получим консервативную разностную схему, называемую наилучшей:

\ (Уп-Уп) = (Wn- 1/2 - Wn+ ш) +

- Wn+ 1/2)+ ф„,

Wn + 1/2 =УП+1/2--.

Wn+ 1/2 =5<n

+ 1/2-

Уп - УП4--1

hn = Xn+i - Xn, fin - - Фп-1 + h„) =Xn + 1/2 -Xn- 1/2 i

«0+ 1/2 =

hn J

k (x, 1)

i + x *rt+ 1/2

t rt-1/2

(34a) (346)

(34b)

(34r)

(34Д)



При вычислениях интегралы (34г), (34д) также аппроксимируют несложными квадратурными формулами. Например, если k(x, t) и / {х, t) непрерывны всюду, за исключением узлов x„, то можно воспользоваться одной из следующих формул:

«+./2« + 1/2 + (35а)

Фл-5-ln-\/2-i--*-/л+1/2, (Зоб)

"л n

где черта означает, что величина отнесена к моменту времени f. Под узловыми значениями разрывных величин здесь надо понимать соответствующие односторонние пределы.

Название схемы (34) связано с ее высокой точностью. Например, можно показать, что для однородного стационарного уравнения (31) наилучшая схема является точной, если интегралы (34г) вычисляются точно. Это означает, что разностное решение Уп при любых величинах шагов совпадает с и (х„, t) (хотя разностные значения могут не совпадать с точными значениями пото-

ков в точках ,у2).

Исследуем схему (34). Подставляя (346) в (34а), получим линейную трехточечную (по пространству) схему. Для определения Уп надо решить линейную систему с трехдиагональной матрицей, что выполняется методом прогонки. Легко видеть, что диагональные члены матрицы преобладают; это обеспечивает единственность разностного решения и устойчивость прогонки.

Устойчивость по начальным данным исследуем методом операторных неравенств. Ограничимся случаем задачи Коши на бесконечной прямой, когда ы(-оо, t) = u{-\~oo, t)=0.

Перепишем двуслойную схему (34) в канонической форме:

В"- + Ау = ср, (36а)

Ву = Уп + огАу„, (366)

д., [т: У п+1-Уп ~ Уп-у п-1 \ /с>р.„\

Уп - - [Хп+\/2---Х„ 1/2--7- . (ЗЬВ)

Введем скалярное произведение

+ <»

(V, ffi>)= 2] fnVnWn. (37)

п = - со

Нетрудно убедиться, что операторы А и В неотрицательные и самосопряженные. В самом деле,

(Лу, у) == {у, Ау) =

+ О0 +СО

- \ i,v Ум - Уп 1 V „V у п -Уп-i



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 [126] 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0169