здесь операторы Лц построены по образцу одномерной наилучшей схемы (34). Схема (73) безусловно устойчива и имеет точность

\ а I

в норме II • lie-

Для уравнения (72) можно добиться точности 0(т), строя симметричный по времени алгоритм. Введем полуцелый слой t и перейдем на него по симметричной локально-одномерной схеме (69) в прямом порядке а=\,2,...,р. Переход с полуцелого на новый слой t совершим по той же схеме, но в обратном порядке а = р, р-1, 1. При этом в естественные краевые условия надо вносить поправки, аналогичные (646).

Квазилинейное уравнение с ka{x, t, и). Чисто неявная локально-одномерная схема (73) естественно обобщается на этот случай. Аналогично § 1, п. 8, можно на промежуточном слое либо полагать Ха = = (л:, t, Wa) и обходиться однократной прогонкой по данному направлению, либо полагать 5<а = Ха(л:, i, Wa) И рсшать одномерную схему (73а) прогонкой с итерациями.

ПрЬизвольная область 0(л:) с криволинейной границей. Покроем эту область прямоугольной сеткой, равномерной по каждой переменной (двумерный случайизображен на рис. 84). Точки пересечения линий сетки с границей также возьмем в качестве узлов сетки и запишем в них естественное разностное краевое условие (736). Во внутренних узлах аппроксимируем дифференциальное уравнение (72) чисто неявной локально-одномерной схемой (73а).

Пусть граничные значения \х{х, t) и коэффициенты уравнения (72) достаточно гладки, так что точное решение и{х, t) непрерывно вместе со своими четвертыми производными всюду в д{х), включая границу области. Тогда построенная указанным образом схема безусловно устойчива и равномерно сходится с точностью

\ а J

(доказательство см. в [30]).

В областях специальной формы -сфере или цилиндре - удобнее пользоваться не декартовыми координатами, а соответствующими криволинейными. Это позволяет получить более хорошую аппроксимацию вблизи границы и повышает фактическую точность расчета. Но при этом есть тонкости в аппроксимации вблизи центра или оси, на которых мы не останавливаемся.

Рис. 84.

4. Метод Монте-Карло. Этот метод можно применять к зада-чам, которые обычно формулируют в терминах уравнений с частными производными. Рассмотрим его на несложном примере.

Пусть частицы блуждают по узлам двумерной пространственной сетки (рис. 84) так, что за один шаг по времени частица может перейти с вероятностью в любой из четырех соседних узлов. Тогда, если на данном шаге в узле есть частиц, то на следующем шаге все они уйдут в соседние узлы. Но зато из каждого соседнего узла примерно четверть бывших там частиц придет в этот узел, так что

Упт. = {Уп+1, т ~Ь Уп-1,1т "Ь Уп, m+l 4" Уп, m-l) •

Вычитая из обеих частей у„т, запишем

Упт Упт ~ [(Ул+1, т 2упт "Ь Уп-i, пг) ~Ь

+ {Уп.т+1-2у„т + Уп.т-1)1 (74)

Уравнение (74) совпадает с явным вариантом разностной схемы (56) для уравнения теплопроводности, если в этой схеме положить а = 0 и выбрать шаги специальным образом:

4kx = hl = hl.

Поэтому вместо решения разностных уравнений можно разыграть случайный процесс. Поместим в каждый узел сетки число частиц, пропорциональное начальному значению г/йт. На каждом шаге для каждой частицы будем разыгрывать переход в один из соседних узлов. Перераспределение частиц будет соответствовать изменению решения со временем.

Вопрос о границе и условиях на ней довольно сложен и здесь не рассматривается.

В обычных задачах теплопроводности этот метод гораздо менее точен, чем локально-одномерные .методы. Но в очень сложных задачах, где число измерений велико и написать разностную схему трудно, метод Монте-Карло может оказаться более простым и быстрым способом решения.

ЗАДАЧИ

1. Найти невязку схемы (6) с весом и правой частью (11).

2. Найти невязку схемы (6) с весом (И) и правой .частью (12).

3. Записать схему (6) на неравномерной сетке и найти ее погрешность локальной аппроксимации: .а) на произвольной неравномерной сетке, б) на квазиравномерной сетке.

4. При каком соотношении шагов т и /г будет асимптотически устойчива схема повышенной точности (6) с весом (11)?

5. Исследовать аппроксимацию схемы Ричардсона (26).

6. Доказать безусловную устойчивость схемы Дюфорта - Франкела (28).

7. Исследовать аппроксимацию схемы Дюфорта - Франкела (28).

8. Доказать безусловную устойчивость схемы (29).

9. Найти невязки схем (29а) и (296) и определить суммарную невязку схемы (29).

10. Для уравнения U( = kuxx построить схему на шаблоне рис. 85 и доказать, что она устойчива при 2krh.

Рис. 85.

И. Доказать, что наилучшая схема (34) монотонна при выполнении условия (42).

12. Исследовать устойчивость схемы (46) для параболического уравнения в криволинейных координатах.

13. Исследовать аппроксимацию схемы (56) для двумерного уравнения (55).

14. Доказать, что двумерная схема (56) устойчива при выполнении условия (58).

15. Разобрать структуру матрицы линейной системы (56). Как изменится эта структура при обобщении схемы (56) на случай трех измерений?