Главная Численные методы при исследовании физических задач



Ur{x)-=li{x), X={Xi,X2}.

Ей соответствует эволюционная задача для уравнения

Vt = Vx,xVx.x, + fiX), (12)

которую будем решать на равномерной сетке {Xi„ - nhi, х-щ = mhi, Osn<yV, Ой=:т«сМ} с шагами hi = a/N, hz = b/M.

Продольно-поперечная схема. Для исследования этой схемы возьмем ее запись (11.63) в двуслойной форме:

y<y ~У)-т (1 + Л2) ( + У) -1 ЛЛ {у-у) + !, и преобразуем ее к канонической форме:

B + Ay = q>, ф = /, (13а)

Л = -(Л, + Л2), В(Е-1аМе-аХ (136)

Поскольку в уравнении (12) коэффициент теплопроводности = 1, а сетка равномерна, то

AiJ/nm - ТГ (уп+1, т 2t/nm ~Ь Уп-i, m)»

1 (13в)

Если численный расчет доведен до выхода на стационарное решение, то уу. Тогда схема (13) в пределе переходит в не-

мы увидим, что вычислять разностное решение при этом обычно приходится итерационными методами. Оказывается, что соответствующие итерационные алгоритмы можно интерпретировать как некоторые разностные схемы для эволюционной задачи (3).

2. Оптимальный шаг. Для расчета эволюционной /7-мерной задачи (3) до момента Т используют экономичные разностные схемы. При этом шаги т и /!„ (Хар) выбирают достаточно малыми, чтобы обеспечить требуемую близость разностного решения у к точному решению v {г, /) эволюционной задачи.

Однако если шаг т выбран слишком малым, то расчет до момента Т потребует большого числа шагов, что неоправданно увеличит объем вычислений. Очевидно, должен существовать оптимальный шаг Xq, рассмотрим, как его найти.

Для простоты ограничимся двумерной задачей Дирихле в прямоугольнике:



эволюционную (не содержащую времени) разностную схему

Лг/ = ф, A = -{Ai + A,), Ф = /(), (14)

которая, как нетрудно заметить, аппроксимирует стационарную задачу (И). Очевидно, в этом случае оптимальным будет тот шаг То, при котором разностное решение выйдет на стационарное за наименьшее число шагов. Для этого надо, чтобы начальные данные за один шаг затухали возможно сильнее.

Затухание начальных данных можно исследовать методом разделения переменных, взятым в строгой форме (поскольку нас интересуют точные значения границ спектра оператора). Собственные функции разностного оператора - (Л + Лз) в прямоугольнике на равномерной сетке равны, как нетрудно проверить,

N-\, М-\.

(15)


Рис. 86.

Подставляя их в схему (13) и полагая Wqr = Pqrqr, определим множители роста гармоник:

(1-а,)(1-Р,) (l-fa,)(i + p,)

(16)

Очевидно, все р5<1, т. е. все гармоники затухают; это означает, что схема (13) обладает аппроксимационной вязкостью.

Какие гармоники затухают наиболее медленно и, тем самым, сильнее всего препятствуют выходу на стационарный режим? Нетрудно заметить, что входящий в р„ сомножитель у? = = (1 - а<,)/(1+а,) заключен в пределах (-1, +1) и монотонно убывает при увеличении номера q (рис. 86, жирная линия). Наибольшим по модулю может быть множитель либо z q=\, либо с q = N - I. Считая Л достаточно большим, можно положить

sin = sin

2а ="-V

И представить экстремальные множители (при т~Л) в виде

(17)



Чем больше шаг т, тем меньше р и больше p-i, м-ц причем оба они близки к 1 *); это значит, что первая и последняя гармоники затухают медленно, причем при малом шаге т быстрей затухает последняя, а при большом -первая гармоника. Выберем шаг То так, чтобы ри Ы =рлг-1, ж-i (Tq); из (18) видно, что

+i)"fi+4-r". (19)

Если изменить шаг по сравнению с То, то либо первая, либо последняя гармоника будет затухать медленнее, чем при т = То. Следовательно, Тп есть оптимальный шаг.

Число шагов /С(е), нужное для достижения заданной точности S, определяется условием (max р = е. При оптимальном шаге наибольшие множители роста равны

/ \ / ч Г / «2 , 62 \ 1/2 /1,1 \1/2-

Pii(fo)=P;v-i,i-i(to)exp[-n-fj + J. (20) Поэтому минимально необходимое число шагов есть

, . 1 /а2 62 \ 1/2/ 1 1 \-1/2 1

Сравнивая время счета на установление (9) и величину оптимального шага (19), нетрудно убедиться, что /С(То) = Г/То.

Отметим, что при а = Ь, M = N выполняется ToaW и

В дифференциальном уравнении (12) установление происходит за достаточно большой промежуток времени. Почему же не взять для разностной схемы очень большой шаг по времени, если устойчивость это позволяет? Казалось бы, тогда мы быстрей добьемся установления. Но это не так. Спектр дифференциального оператора таков, что гармоники затухают тем быстрей, чем больше их номер, причем ->-О при q-oo; соответствующая кривая показана пунктиром на рис. 86. А затухание собственных функций разностного оператора имеет, вообще говоря, другой качественный характер, как видно из того же рисунка.

*) При нечетном числе измерений р для последней гармоники р-*--1 и вместо него во всех выкладках надо использовать р = -р.

Аналогично, второй сомножитель (1 - Рл)/(1+ максимален по модулю либо при г=\, либо при г = М-1. Поэтому IpjI максимален либо при q = r=l, либо при q = N-\, г = М-\, причем

l-"ffi + i) Piv-i,-il-:Si--i- (18)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 [134] 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0257